函数的解析式、定义域及其函数的性质小结四川偉琳家教服務社劉偉巍函数是高考中的“大户”，求解函数的定义域与解析式是函数题型中最常见的题型之一，而函数的性质不仅对于整个函数的学习至关重要，而且还是解决高考中函数问题所必须的工具。现将函数的解析式、定义域以及函数的性质做一小结。以供各位学子复习参考。一、函数的解析式:把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的解析式，简称解析式。『综合例证』1、换元法：例1、求出函数f（x）的解析式：（1）解：令1+1/x=t即：例2、已知f(4x+1)=，求f(x)解：设t=4x+12、配变量法：例3、求出函数的解析式：解：用x替代式中的又考虑到３、待定系数法：例4、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x－1，求f(x)的解析式。解：设f(x)=kx+b则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x－1４、解函数方程组法：用心爱心专心例5、已知，求解：由解得５、代入法：例6、设函数的图象为，关于点对称的图象为，求对应的函数的表达式。解：设图象上任一点，则关于对称点为在上，即：即：故：二、函数定义域的类型和求法下文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。1、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。故所求函数的定义域为。例2求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由①解得③由②解得④用心爱心专心由③和④求公共部分，得故函数的定义域为评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？2、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知的定义域，求的定义域。其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。例3已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。解：因为。即函数f(x)的定义域是。3、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。例6已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数①当k≠0时，恒成立，解得；用心爱心专心②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。综上k的取值范围是。4、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。。由问题的实际意义，知函数的定义域应满足。故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。因为CD=AB=2x，所以，所以，故根据实际问题的意义知故函数的解析式为，定义域（0，）。5、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。用心爱心专心例9已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。解：因为的定义域为［0，1］，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集：，即...
