求圆的切线方程一题三法在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，在运用这个结论的时候要注意些什么呢？【例题】求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程.解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4，过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4.又点A（2，1）在切线上，∴2x0＋y0＝4.将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.解法二：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.∵圆心（0，0）到切线的距离是2，∴＝2，解得k＝－.∴所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件.故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.解法三：设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0.∵直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－.∴所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切.故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.【误区警示】大家做题的时候必须按照所述认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存在的情况.【知识小结】求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋y2＝r2上，则可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）为切点），类似的可以求出过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2；若点在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.如果关于k的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，应该将该直线补上.第1页共1页
