第2讲数列求和及简单应用A组基础题组时间:30分钟分值:55分1.(2017河南洛阳四校联考)已知数列{an}满足条件a1+a2+a3+…+an=2n+5,则数列{an}的通项公式为()A.an=2n+1B.an=C.an=2nD.an=2n+22.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+1an-1=an(n≥2),则数列{an}的前40项和S40等于()A.20B.40C.60D.803.如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差构成等比数列,我们就称其为“差等比数列”.已知数列{an}是差等比数列,且a1=1,a2=3,a3=7,则a10=()A.2048B.2047C.1024D.10234.已知在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于()A.445B.765C.1080D.31055.(2015河南郑州质量预测(一))已知数列{an}满足a1a2a3·…·an=(n∈N*),且对任意n∈N*都有++…+0(n∈N*),a1a3=4,且a3+1是a2和a4的等差中项,若bn=log2an+1.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}满足cn=an+1+,求数列{cn}的前n项和.4.(2017天津,18,13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).答案精解精析A组基础题组1.B因为a1+a2+a3+…+an=2n+5,所以n≥2时,有a1+a2+a3+…+an-1=2(n-1)+5,两式相减可得=2n+5-2(n-1)-5=2,∴an=2n+1,n≥2,当n=1时,=7,∴a1=14,综上可知,数列{an}的通项公式为an=故选B.2.C由an+1=(n≥2),a1=1,a2=3,可得a3=3,a4=1,a5=,a6=,a7=1,a8=3,…,这是一个周期为6的数列,一个周期内的6项之和为,又40=6×6+4,所以S40=6×+1+3+3+1=60.3.D设bn=an+1-an,则b1=a2-a1=2,b2=a3-a2=4,又数列{bn}为等比数列,所以bn=2n,从而a10=a1+b1+b2+…+b9=1+2+22+…+29=210-1=1023.4.B∵an+1=an+3,∴an+1-an=3.∴{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列.∴an=-60+3(n-1)=3n-63.令an≤0,得n≤21.∴前20项都为负值.∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30.∵Sn=n=×n,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765.5.D∵数列{an}满足a1a2a3…an=,∴n=1时,a1=2,当n≥2时,a1a2a3…an-1=,可得an=22n-1,∴=,∴数列为等比数列,首项为,公比为,∴++…+==<,因为对任意n∈N*都有++…+0,在等比数列{an}中,由an>0,a1a3=4得,a2=2,①又a3+1是a2和a4的等差中项,所以2(a3+1)=a2+a4.②把①代入②得,2(2q+1)=2+2q2,解得q=2或q=0(舍去),所以an=a2qn-2=2n-1,则bn=log2an+1=log22n=n.(2)由(1)得,cn=an+1+=2n+=2n+.所以数列{cn}的前n项和为2+22+…+2n+++…+=+=2n+1-2+.4.解析(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n.(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,上述两式相减,得-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)·2n+2+16.
