第2课时利用导数研究函数的综合问题A组基础题组1.(2017石家庄教学质量检测(一))已知函数f(x)=x2-ax与g(x)=ex的图象上存在关于直线y=x的对称点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.2.(2017广东五校协作体第一次诊断考试)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f(x)g'(x)>f'(x)g(x),f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1),+=.在有穷数列(n=1,2,…,10)中,任意取正整数k(1≤k≤10),则前k项和大于的概率是()A.B.C.D.3.(2017兰州诊断考试)已知函数f(x)=ex+mlnx(m∈R,e为自然对数的底数),若对任意正数x1,x2,当x1>x2时都有f(x1)-f(x2)>x1-x2成立,则实数m的取值范围是.4.若不恒为零的函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,则不等式f(x)+f<0的解集为.5.(2017陕西高三教学质量检测试题(一))已知函数f(x)=ln(x+1)+(a∈R).(1)当a<0时,求f(x)的极值;(2)求证:ln(n+1)>++…+(n∈N*).6.(2017甘肃张掖第一次诊断考试)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(e2,f(e2))处的切线与直线2x+y=0垂直(其中e为自然对数的底数).(1)求f(x)的解析式及单调递减区间;(2)是否存在最小的常数k,使得对任意x∈(0,1),f(x)>+2恒成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.B组提升题组1.(2017湖南湘中名校高三联考)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=,直线l:y=(k-3)x-k+2.(1)曲线y=f(x)在x=e处的切线与直线l平行,求实数k的值;(2)若至少存在一个x0∈[1,e],使f(x0)
1时,函数f(x)的图象恒在直线l的上方,求k的最大值.2.(2017广州综合测试(一))已知函数f(x)=lnx+(a>0).(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;(2)证明:当a≥,b>1时,f(lnb)>.答案精解精析A组基础题组1.A因为函数f(x)与g(x)的图象在上存在关于直线y=x对称的点,所以问题转化为方程x2-ax=lnx在上有解,即a=在上有解.令h(x)=,则h'(x)=,当x=1时,h'(x)=0,所以h(x)在上单调递减,在[1,e]上单调递增,又h(1)=1,h=e+,h(e)=e-,所以h(x)∈,即a∈,故选A.2.C由f(x)=ax·g(x),可得ax=,'=<0,所以为减函数,所以0可得k>4,即5≤k≤10时,前k项和大于,故所求的概率为==.故选C.3.答案[0,+∞)解析依题意得,对于任意的正数x1,x2,当x1>x2时,都有f(x1)-x1>f(x2)-x2,因此函数g(x)=f(x)-x在区间(0,+∞)上是增函数,于是当x>0时,g'(x)=f'(x)-1=ex+-1≥0,即x(ex-1)≥-m在(0,+∞)上恒成立.记h(x)=x(ex-1),x>0,则有h'(x)=(x+1)ex-1>(0+1)e0-1=0(x>0),所以h(x)在区间(0,+∞)上是增函数,h(x)的值域是(0,+∞),因此-m≤0,m≥0.故所求实数m的取值范围是[0,+∞).4.答案∪解析令x=y=1,得f(1)=0,由f(1)=f[(-1)×(-1)]=2f(-1)=0,得f(-1)=0,再令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,∴不等式f(x)+f<0可化为f1,得f>0,即f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴解得1-1),f'(x)=, a<0,∴当x∈(-1,-a-1)时,f'(x)<0,当x∈(-a-1,+∞)时,f'(x)>0,∴函数f(x)的极小值为f(-a-1)=a+1+ln(-a),无极大值.(2)证明:由(1)知,取a=-1,f(x)=ln(x+1)-≥f(0)=0.当x>0时,ln(x+1)>,取x=,得ln>>.∴ln+ln+…+ln>++…+⇔ln>++…+,即ln(n+1)>++…+.6.解析(1)f'(x)=,由f'(e2)==,得m=2,故f(x)=,此时f'(x)=,由f'(x)<0⇒0+2恒成立,即>+2恒成立⇔<-2恒成立,当x∈(0,1)时,lnx<0,则有k>2x-2·lnx恒成立,令g(x)=2x-2·lnx,则g'(x)=,再令h(x)=2-lnx-2,得h'(x)=<0,所以h(x)在(0,1)内单调递减,所以h(x)>h(1)=0,故g'(x)=>0,所以g(x)在(0,1)内单调递增,所以g(x)成立.令h(x)=,当x∈[1,e]时,h'(x)=≥0恒成立,因此h(x)=...
