高三数学二轮复习 9 坐标系与参数方程练习 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

9.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosπ4，直线l的参数方程为x＝tt(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值．解(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为7π4.(2)直线l的普通方程为：2x－y－1＝0，圆心到直线l的距离d＝2＋1－1|3＝23，所以|AB|＝289＝103，点P到直线AB距离的最大值为r＋d＝＋23＝23，故最大面积Smax＝12×103×23＝59.2．在平面直角坐标系xOy中，过点P(2,0)的直线l的参数方程为3ty＝t(t为参数)，圆C的方程为x2＋y2＝9.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l和圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．解(1)直线l的普通方程为x＋y－2＝0，将x＝ρcosθy＝ρsinθ代入得，ρcosθ＋ρsinθ－2＝0，整理得直线l的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1.圆C的极坐标方程为ρ＝3.(2)直线l的参数方程为3ty＝t，将其代入x2＋y2＝9得4t2－4t－5＝0，所以|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝54.3．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsinπ4＝m(m∈R)．(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由ρsinπ4＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－(－22＝2，解得m＝－3±2.4．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为3cosα＋sinαsinαcosα－2sin2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsinπ4＝22t(t为参数)．(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．解(1)由x＝cosα＋sinα得x2＝(cosα＋sinα)2＝2cos2α＋2sinαcosα＋1，所以曲线M可化为y＝x2－1，x∈，由ρsinπ4＝22t得22ρsinθ＋22ρcosθ＝22t，所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点(2,3)时满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立x＋y＝ty＝x2－1，得x2＋x－1－t＝0，由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－54.综上可求得t的取值范围是－54≤t≤5.5．已知直线l：5(t为参数)上一点P，椭圆C：2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)上一点Q，求|PQ|的最大值以及此时点Q的坐标．解直线l：5(t为参数)的普通方程为2x－y＋4＝0，椭圆C：2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)上一点Q到直线的距离为d＝2cosθ－sinθ＋4|5＝2cosθ－4|5＝3－45＝|3sin(θ＋φ5，其中cosφ＝13，sinφ＝－23，当sin(θ＋φ)＝－1，即θ＋φ＝3π2，θ＝3π2－φ时，dmax＝55.此时cosθ＝cos3π－φ＝－sinφ＝23，sinθ＝sin3π－φ＝－cosφ＝－13，所以1，即椭圆上的点Q的坐标为13.6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；(2)求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．解(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由ρ＝2ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝2kπ±π3，其中k∈Z，故圆C1与圆C2交点的极坐标为π3，π3，其中k∈Z.(2)由(1)可知圆C1与圆C2的交点在直角坐标系下的坐标为(1，)，(1，－)，故圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为x＝1)