函数综合题1．已知在实数域R上可导的函数对任意实数都有若存在实数，使，求证：（1）；（2）上是单调函数证明：（1）又,（2）即在R上是单调递增函数.2．已知抛物线C的方程为为焦点，直线与C交于A、B两点，P为AB的中点，直线过P、F点。（1）求直线的斜率关于的解析式，并指出定义域；（2）求函数的反函数；（3）求与的夹角的取值范围。（4）解不等式。解：（1）（2）（3）（4），∴原不等式为当时，；当时，，显然，时，；当时，。3．已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合，集合.（1）求和；（2）定义与的差集：且.设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的三组值，使，，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、（从小到大）依次构成的数列{用心爱心专心}、{}的通项公式（不必证明）；（3）若函数中，，（理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。解：（1） 有最大值，∴.配方得，由.∴，。（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素.则.②中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则.③中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素.则..（3）（理），得.， ，当且仅当时等号成立.∴在上单调递增。.又，故没有最小值。（文） 单调递增，∴，又，∴没有最大值。4．已知函数是奇函数。(1)求m的值；（2）判断在区间上的单调性并加以证明；（3）当时，的值域是，求的值.解:（1）m=－1（2）由（1），任取，..上是减函数；用心爱心专心当0
1时，要使的值域是，则，而a>1，∴上式化为①又∴当x>1时，.当.因而，欲使的值域是，必须，所以对不等式①，当且仅当时成立..5．|AB|=|xB-xA|表示数轴上A、B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离：条件一，非负性p(x,y)≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p(x,y)=p(y,x);条件三，三角不等式p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z).试确定运算s(x,y)=是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。解：要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可s(x,y)=≥0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y，第一条满足s(x,y)===s(y,x)，第二条也满足s(x,z)= 函数f(x)==1-(或)在x>0上单调增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|(8分）∴s(x,z)≤=+≤+=s(x,y)+s(y,z)（10分）总之，s(x,y)是距离6．已知曲线相交于点A，以其上一动点P（x0,y0）为切点的直线l与y轴相交于Q点.（Ⅰ）求直线l的方程，并用x0表示Q点的坐标；（Ⅱ）求(Ⅰ）解：用心爱心专心（Ⅱ）由正弦定理得：7．设、为常数，：把平面上任意一点（，）映射为函数（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当时，，这里t为常数；（3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？答案：（1）假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，即对一切实数x均成立。特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数。（2）当时，可得常数a0，b0，使由于为常数，设是常数.从而。（3）设，由此得（，）在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是消去t得，即在映射F下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆。8．试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是9．设A∪B∪C=,且A∩B=,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C顺序不同为不同组)(A)A.500组B.75组C.972组D.125组10．电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案.这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）(.注：图中MN∥CD)试问：（I）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？（II）方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？（III）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？解：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分...
