开卷速查(六十六)几何概型A级基础巩固练1．在区间上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率是()A.B.C.D.解析：由0＜tanx＜1，得0＜x＜，故所求概率为＝。答案：C2．已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2,1]。∀x∈[0,1]，f(x)≥0的概率是()A.B.C.D.解析：由∀x∈[0,1]，f(x)≥0得有－1≤k≤1，所以所求概率为＝。答案：C3．设不等式组表示的平面区域为D。在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.B.C.D.解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，表示的区域D为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为＝。答案：D4．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A.B.C.D.解析：要使该函数无零点，只需a2－4b2＜0，即(a＋2b)(a－2b)＜0。 a，b∈[0,1]，a＋2b＞0，∴a－2b＜0。作出的可行域，易得该函数无零点的概率P＝＝。答案：C5．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≤1”发生的概率为()A.B.C.D.解析：由sinx＋cosx≤1得2sin≤1，即sin≤。由于x∈[0，π]，故x＋∈，因此当sin≤时，x＋∈，于是x∈。由几何概型公式知事件“sinx＋cosx≤1”发生的概率为P＝＝。答案：C6．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为__________。解析： y＝x与y＝－x互相垂直，∴M的面积为3，而N的面积为，所以概率为＝。答案：7．[2016·安顺模拟]如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，分别以O，B为圆心，半径为画圆弧，点P在两圆之外的概率为__________。解析：依题设知所求概率P＝1－＝1－＝1－。答案：1－8．[2016·贵阳模拟]如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形。若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是__________。图1图2解析：设题图1长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3。答案：39．已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)。(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率。解析：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8。因x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝＝。(2)由题意≤即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S2＝4，所求概率为P＝＝。B级能力提升练10．设不等式组表示的平面区域为D，在D内任取一点P(x，y)，若满足2x＋y≤b的概率大于，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：区域D表示以点O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)为顶点的正方形，其面积S1＝1。根据题意，b＞0，设正方形OABC位于直线2x＋y＝b下方部分面积为S2，因为直线2x＋y＝b在x轴，y轴上的截距分别为，b，则当0＜b≤1时，S2＝·＝≤。故题设，P＝＝S2＞，则b＞1。答案：C11．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为__________。解析：设事件M为“动点在三棱锥A－A1BD内”，P(M)＝＝＝＝＝。答案：12．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标。(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子求豆子落在区域M上的概率。解析：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，故所求概率为P＝。(2) 区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，∴所求概率为P＝＝。13．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同...
