【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第八章解析几何8.9圆锥曲线的综合问题模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2015·课标Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点。(1)当k＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程。(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？(说明理由)解析：(1)联立不妨取M(2，a)，N(－2，a)，由曲线C：y＝可得：y′＝，∴曲线C在M点处的切线斜率为＝，其切线方程为：y－a＝(x－2)，化为x－y－a＝0。同理可得曲线C在点N处的切线方程为：x＋y＋a＝0。(2)存在符合条件的点(0，－a)，下面给出证明：设P(0，b)满足∠OPM＝∠OPN。M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2。联立化为x2－4kx－4a＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a。∴k1＋k2＝＋＝＝－。当b＝－a时，k1＋k2＝0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM＝∠OPN。∴点P(0，－a)符合条件。2．[2015·浙江]已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称。(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)。解析：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b。由消去y，得x2－x＋b2－1＝0。因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①设M为AB的中点，则M，代入直线方程y＝mx＋解得b＝－。②由①②得m＜－或m＞。(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·，且O到直线AB的距离d＝。设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤，当且仅当t2＝时，等号成立。故△AOB面积的最大值为。
