开卷速查(五十五)曲线与方程A级基础巩固练1．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点。若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析：由已知得|MF|＝|MB|。由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D。答案：D2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由条件知|PM|＝|PF|。∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|。∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆。答案：A3．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为()A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4解析：设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，点A是线段RP的中点，∴即 点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x。答案：B4．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0。答案：D5．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)。连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又 |PA|＝1，∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2。答案：D6．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析： M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆。∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝。∴椭圆的标准方程为＋＝1。答案：D7．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是__________。解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)。答案：＋＝1(y≠0)8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是__________。解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6。根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)。答案：－＝1(x＞3)9．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程为__________。解析：由抛物线定义知点P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y2＝2px，从而可知p＝4，所以动点P的轨迹方程为y2＝8x。答案：y2＝8x10．已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A(，0)，且中心O到直线AF1的距离为焦距的，过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上。(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N的轨迹方程。解析：(1)设椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)。由于椭圆的一个顶点是A(，0)，故b2＝2。根据题意得∠AF1O＝，sin∠AF1O＝，即a＝2b，a2＝8，所以椭圆的标准方程是＋＝1。(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x，y)，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)。直线l的方程与椭圆方程联立消去y得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－8＝0。由Δ＝16k4－4(k2＋4)(4k2－8)＞0，得－2＜k＜2。根据根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝。又|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，即(2－x1)(x2－x)＝(x－x1)(2－x2)。解得x＝1，代入直线l的方程得y＝－k，y∈(－2,2)。所以动点N的轨迹方程为x＝1，y∈(－2,2)。B级能力提升练11．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且MP0＝PP0。(1)求点M的轨迹C...
