开卷速查(五十六)圆锥曲线的综合问题1．[2015·北京]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M。(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N。问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由。解析：(1)由题意得解得a2＝2。故椭圆C的方程为＋y2＝1。设M(xM,0)。因为m≠0，所以－1＜n＜1。直线PA的方程为y－1＝x，所以xM＝，即M。(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)。设N(xN,0)，则xN＝。“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|。因为xM＝，xN＝，＋n2＝1，所以y＝|xM||xN|＝＝2。所以yQ＝或yQ＝－。故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ。点Q的坐标为(0，)或(0，－)。2．[2015·湖南]已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2。(1)求C2的方程；(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC与BD同向。(ⅰ)|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M。证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形。解析：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)。因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1。①又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1。②联立①，②得a2＝9，b2＝8。故C2的方程为＋＝1。(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)。(ⅰ)因为AC与BD同向，且|AC|＝|BD|，所以AC＝BD，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4。③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1。由得x2－4kx－4＝0。而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4。④由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0。而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－。⑤将④，⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±。(ⅱ)证明：由x2＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－。令y＝0得x＝，即M，所以FM＝。而FA＝(x1，y1－1)，于是FA·FM＝－y1＋1＝＋1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角。故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形。3．[2015·四川]如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点。当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2。(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：(1)由已知，点(，1)在椭圆E上。因此，解得a＝2，b＝。所以椭圆E的方程为＋＝1。(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点。如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|。所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)。当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)。由＝，有＝，解得y0＝1，或y0＝2。所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0,2)。下面证明：对任意直线l，均有＝。当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立。当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－。因此＋＝＝2k。易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)。又kQA＝＝＝k－，kQB′＝＝＝－k＋＝k－，所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线。所以＝＝＝。故存在与P不同的定点Q(0,2)，使得＝恒成立。4．[2015·广东]平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2。以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y...
