开卷速查(五十三)双曲线A级基础巩固练1．[2014·课标Ⅰ]已知双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝()A．2B.C.D．1解析：因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1。选D。答案：D2．[2016·西安八校联考]设P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：根据题意可知圆过双曲线的两焦点，即PF1⊥PF2， tan∠PF2F1＝3，∴sin∠PF2F1＝，cos∠PF2F1＝，∴|PF2|＝|F2F1|cos∠PF2F1＝c，|PF1|＝|F2F1|sin∠PF2F1＝c，从而由双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a得，双曲线的离心率e＝，故选B。答案：B3．[2014·湖北]设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根为0，－tanθ(tanθ≠0)，则过A，B两点的直线方程为y＝－xtanθ，双曲线－＝1的渐近线为y＝±xtanθ，所以直线y＝－xtanθ与双曲线没有公共点，故选A。答案：A4．[2014·江西]过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A。若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：设双曲线的右焦点为F，则F(c,0)(其中c＝)，且c＝|OF|＝r＝4，不妨将直线x＝a代入双曲线的一条渐近线方程y＝x，得y＝b，则A(a，b)。由|FA|＝r＝4，得＝4，即a2－8a＋16＋b2＝16，所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为－＝1。答案：A5．[2016·沈阳模拟]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为()A.B.C．2D.解析：因为|MF2|＝7|MF1|，所以|MF2|－|MF1|＝6|MF1|，即2a＝6|MF1|≥6(c－a)，故8a≥6c，即e＝≤。答案：A6．[2016·贵阳模拟]已知双曲线－＝1(a＞0)的两条渐近线与以椭圆＋＝1的左焦点为圆心，半径为的圆相切，则双曲线的离心率为()1A.B.C.D.解析：双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为y＝±x；椭圆＋＝1的左焦点为(－4,0)，因为渐近线与以椭圆＋＝1的左焦点为圆心，半径为的圆相切，所以＝，解得a＝4，所以双曲线的离心率为。答案：A7．[2016·成都模拟]已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________。解析：易知圆与y轴的交点坐标为(0,3)，(0，－3)，因为圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，所以双曲线的焦点在y轴上，且a＝3，又A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以c＝9，所以b2＝72，所以此双曲线的标准方程为－＝1。答案：－＝18．[2014·山东]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F。若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为__________。解析：抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，与双曲线的方程联立得x2＝a2，根据已知得a2＝c2①。由|AF|＝c，得＋a2＝c2②。由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±x。答案：y＝±x9．已知点F、A分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足FB·AB＝0，则双曲线的离心率为__________。解析：依题意得F(－c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，则FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)。由FB·AB＝0，得b2＝ac，所以c2－a2＝ac，＝1，即e－＝1，e2－e－1＝0，解得e＝。又e＞1，所以e＝，即双曲线的离心率等于。答案：10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。(1)求双曲线C2的方程。(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB＞2(其中O为原点)，求k的取值范围。解析：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故C2的方程为－y2＝1。(2)将y＝kx＋代入...
