【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.12导数的应用(二)模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2015·昌平区三模]设f(x)＝x3＋(b－1)x2－bx，b∈R。(1)当b＝1时，求f(x)的单调区间；(2)当f(x)在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围。解析：(1)f′(x)＝x2＋(b－1)x－b，由于b＝1，则有f′(x)＝x2－1，令f′(x)＞0，得x＞1或x＜－1，令f′(x)＜0，得－1＜x＜1，∴f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间是(－1,1)。(2)f′(x)＝x2＋(b－1)x－b＝(x＋b)(x－1)，则－b,1为方程f′(x)＝0的两根，若b＝－1，则f′(x)≥0，f(x)递增，成立；若b＞－1，则f(x)在(－∞，－b)，(1，＋∞)递增，在(－b,1)递减，则f(1)为函数f(x)极小值，且为－－，f(－b)为极大值，且为＋b3。由于函数f(x)在R上有且仅有一个零点，则－－＞0或＋b3＜0，解得，－1＜b＜－；若b＜－1时，则f(x)在(－∞，1)，(－b，＋∞)递增，在(1，－b)递减。则f(1)为函数f(x)极大值，且为－－，f(－b)为极小值，且为＋b3。由于函数f(x)在R上有且仅有一个零点，则－－＜0或＋b3＞0，解得，－3＜b＜－1，则b的取值范围为－3＜b＜－。2．[2015·宿州三模]已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2。(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数y＝g(x)的图象在点P(－1,1)处的切线方程；(3)若不等式2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围。解析：(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1由题意3x2＋2ax－1＜0的解集是，即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－，1。将x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0得a＝－1，∴g(x)＝x3－x2－x＋2。(2)由(1)知：g′(x)＝3x2－2x－1，∴g′(－1)＝4，∴点P(－1,1)处的切线斜率k＝g′(－1)＝4，∴函数y＝g(x)的图象在点P(－1,1)处的切线方程为y－1＝4(x＋1)，即4x－y＋5＝0。(3)∵2f(x)≤g′(x)＋2，即2xlnx≤3x2＋2ax＋1对x∈(0，＋∞)上恒成立，可得a≥lnx－x－对x∈(0，＋∞)上恒成立。设h(x)＝lnx－x－，则h′(x)＝－＋＝－。令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－(舍)，当0＜x＜1时，h′(x)＞0；当x＞1时，h′(x)＜0，∴当x＝1时，h(x)取得最大值－2，∴a≥－2，∴a的取值范围是[－2，＋∞)。
