【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.11导数的应用(一)模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2015·陕西]对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A．－1是f(x)的零点B．1是f(x)的极值点C．3是f(x)的极值D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上解析：由A知a－b＋c＝0；由B知f′(x)＝2ax＋b,2a＋b＝0；由C知f′(x)＝2ax＋b，令f′(x)＝0可得x＝－，则f＝3，则＝3；由D知4a＋2b＋c＝8。假设A选项错误，则得满足题意，故A结论错误。同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A。答案：A2．[2015·课标Ⅰ]设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是()A.B.C.D.解析：由题意可知存在唯一的整数x0，使得ex0(2x0－1)＜ax0－a，设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由g′(x)＝ex(2x＋1)可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故即所以≤a＜1，故选D。答案：D3．[2015·课标Ⅱ]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析：令F(x)＝，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)。故选A。答案：A4．[2016·湖北八校联考]已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是()A．(－∞，3]B．(－∞，5]C．[3，＋∞)D．[5，＋∞)解析：∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数f(x)在[a，b]上单调递减，则有f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a，b]上恒成立，即有t≥在[a，b]上恒成立，而函数y＝在[1,3]上单调递增，由于a∈[1,2]，b∈(2,3]，当b＝3时，函数y＝取得最大值，即ymax＝＝5，所以t≥5，故选D。答案：D5．[2015·福建]若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是()A．f＜B．f＞C．f＜D．f＞解析：取满足题意的函数f(x)＝2x－1，若取k＝，则f＝f＝＜＝，所以排除A；若取k＝，则f＝f＝f(10)＝19＞11＝＝，所以排除D；取满足题意的函数f(x)＝10x－1，若取k＝2，则f＝f＝4＞1＝＝，所以排除B；故结论一定错误的是C。答案：C
