【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.10变化率与导数、导数的计算模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2016·赣州模拟]已知t为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于()A．0B．－1C.D．2解析：依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，∴f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝。答案：C2．[2016·厦门模拟]设函数f(x)＝x3＋x2＋4x－1，其中θ∈，则导数f′(－1)的取值范围是()A．[3,6]B．[3,4＋]C．[4－，6]D．[4－，4＋]解析：f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x＋4，f′(－1)＝sinθ·(－1)2＋cosθ·(－1)＋4＝2sin＋4，∵0≤θ≤，∴－≤θ－≤，∴－≤sin≤1，∴3≤f′(－1)≤6。答案：A3．[2016·济宁模拟]若曲线y＝x2＋alnx(a＞0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为()A．(1,1)B．(2,3)C．(3,1)D．(1,4)解析：y＝x2＋alnx的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，即a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，故所求的切点坐标是(1,1)。答案：A4．[2016·新乡质检]过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有()A．3条B．2条C．1条D．0条解析：由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x－3x0)，那么切线的斜率为k＝3x－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x－6x＋5＝0。令y＝2x－6x＋5，则y′＝6x－12x0。由y′＝0得x0＝0或x0＝2。当x0＝0时，y＝5＞0；x0＝2时，y＝－3＜0。所以方程2x－6x＋5＝0有3个解。故过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有3条，故选A。答案：A5．[2015·陕西]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__________。解析：y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝(x＞0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x＞0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x＞0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)。答案：(1,1)
