开卷速查(十三)变化率与导数、导数的计算A级基础巩固练1．[2016·哈尔滨模拟]已知f(x)＝x(2013＋lnx)，f′(x0)＝2014，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e解析：因为f(x)＝2013x＋xlnx，所以f′(x)＝2013＋lnx＋1＝2014＋lnx，又因为f′(x0)＝2014，所以2014＋lnx0＝2014，解得x0＝1。答案：B2．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.解析：设切点坐标为(x0，y0)，且x0＞0，由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3。答案：A3．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－4解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4。答案：D4．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是()A．1B.C．1或D．1或－解析：易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)当O(0,0)是切点时，易得a＝1。(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2。①又k＝＝x－3x0＋2，②由①，②联立，得x0＝(x0＝0舍)，∴k＝－。∴所求切线l的方程为y＝－x。由得x2＋x＋a＝0。依题意，Δ＝－4a＝0，∴a＝。综上，a＝1或a＝。答案：C5．曲线y＝alnx(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则a的值为()A．4B．－4C．8D．－8解析：y′＝，在x＝1处的切线斜率k＝a，当x＝1时，y＝aln1＝0，即切点坐标为(1,0)，因此切线方程为y＝a(x－1)，令y＝0得x＝1，令x＝0得y＝－a，因为a＞0，所以所围成的三角形的面积为×a×1＝4，解得a＝8。答案：C6．已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()A.B．(0，－4)C．(2,3)D.解析：由题意知，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，则在A，B两点处的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2。又两切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－。两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0。 x1≠x2，∴x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D。答案：D7．[2014·广东]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________。解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0。答案：5x＋y＋2＝08．[2014·江西]若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是__________。解析：由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)。答案：(e，e)9．[2014·江苏]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是__________。解析：由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，得4a＋＝－5。①又y′＝2ax－，所以当x＝2时，4a－＝－，②由①②得所以a＋b＝－3。答案：－310．已知函数f(x)＝的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求y＝f(x)的解析式。解析：由已知得，－1＋2f(－1)＋5＝0，所以f(－1)＝－2，即切点为(－1，－2)。又f′(x)＝＝，所以解得所以f(x)＝。B级能力提升练11．[2016·淮南模拟]点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1B.C.D.解析：将x2－y－lnx＝0变形为y＝x2－lnx(x＞0)，则y′＝2x－，令y′＝1，则x＝1或x＝－(舍)，可知函数y＝x2－lnx的斜率为1的切线的切点横坐标为x＝1，纵坐标为y＝1。故切线方程为x－y＝0。则点P到直线y＝x－2的最小距离即x－y＝0与y＝x－2的两平行线间的距离，d＝＝。答案：D12．[2016·武汉模拟]已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2015x1＋log2015x2＋…＋log2015x2014的值为________。解析：由题意知P(1,1)，f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，所以x1·x2·…·x2014＝×××…××＝，则log2015x1＋log2015x2＋…＋...
