专题五平面向量1.(2016·新课标全国Ⅲ，3)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A.30°B.45°C.60°D.120°1.解析|BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝.答案A2.(2015·广东，9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB＝(1,－2),AD＝(2,1),则AD·AC＝()A.5B.4C.3D.22.解析 四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)．∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5.答案A3.(2015·陕西，8)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b23.解析对于A，由|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.答案B4.(2015·重庆，7)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.4.解析因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cos〈a，b〉＝0，即2＋4cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，即a，b夹角为π.答案C5.(2015·福建，7)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A.－B.－C.D.5.解析c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)， b⊥c，∴b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，∴k＝－，故选A.答案A6.(2015·湖南，9)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为()A．6B．7C．8D．96.解析 A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴线段AC为圆的直径，故PA＋PC＝2PO＝(－4，0).设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，PB＝(x－2，y)，∴PA＋PB＋PC＝(x－6，y)，|PA＋PB＋PC|＝，∴当x＝－1时，此式有最大值＝7，故选B.答案B7.(2014·安徽，10)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A.B.C.D．07.解析设S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，若S的表达式中有0个a·b，则S＝2a2＋2b2，记为S1，若S的表达式中有2个a·b，则S＝a2＋b2＋2a·b，记为S2，若S的表达式中有4个a·b，则S＝4a·b，记为S3.又|b|＝2|a|，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2(a－b)2＞0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2＞0，S2－S3＝(a－b)2＞0，所以S3＜S2＜S1，故Smin＝S3＝4a·b.设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a·b＝8|a|2cosθ＝4|a|2，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案B8.(2014·湖南，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的取值范围是()A．[4,6]B．[－1，＋1]C．[2，2]D．[－1，＋1]8.解析设D(x，y)，则(x－3)2＋y2＝1，OA＋OB＋OD＝(x－1，y＋)，故|OA＋OB＋OD|＝，|OA＋OB＋OD|的最大值为＋1＝＋1，最小值为－1＝－1，故取值范围为[－1，＋1]．答案D9.(2014·山东，7)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A.2B.C.0D.－9.解析根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意．答案B10.(2014·新课标全国Ⅱ，4)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A.1B.2C.3D.510.解析因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10.①又因为|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝6.②由①－②得4a·b＝4，即a·b＝1，故选A.答案A11.(2016·新课标全国Ⅰ，13)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________.11.解析由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－.答案－12.(2016·山东，13)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4).若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________.12.解析 a⊥(ta＋b)，∴ta2＋a·b＝0，又 a2＝2，a·b＝10，∴2t＋10＝0，∴t＝－5.答案－513.(2016·北京，9)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________.13.解析设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝，所以θ＝.答案14.(2015·湖北，11)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝__...
