专题六数列考点1数列的概念及简单表示法1.(2016·浙江，13)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.1.1，121由于解得a1＝1，a2＝3，当n≥2时，由已知可得：an＋1＝2Sn＋1，①an＝2Sn－1＋1，②①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列.∴S5＝＝121.2.(2015·江苏，11)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________.2.[ a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2＝.]3.(2015·安徽，18)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明Tn≥.3.(1)解y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1,曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.(2)证明由题设和(1)中的计算结果知Tn＝xx…x＝….当n＝1时，T1＝.当n≥2时，因为x＝＝>＝＝.所以Tn>×××…×＝.综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥.4.(2014·广东，19)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式.4.(1)依题有解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2) Sn＝2nan＋1－3n2－4n，①∴当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1).②①－②并整理得an＋1＝.由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，a1＝2＋1＝3，命题成立；假设当n＝k时，ak＝2k＋1命题成立.则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立.综上，∀n∈N*，an＝2n＋1.考点2等差数列及其前n项和1.(2016·浙江,6)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|,An≠An＋2,n∈N*,|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|,Bn≠Bn＋2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn＝|AnBn|,Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()A.{Sn}是等差数列B.{S}是等差数列B.C.{dn}是等差数列D.{d}是等差数列1.A[Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn－1|长度一半,即Sn＝hn|BnBn－1|，由题目中条件可知|BnBn－1|的长度为定值，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，An和两个垂足构成等腰梯形，则hn＝h1＋|A1An|tanθ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，从而Sn＝(h1＋|A1An|tanθ)|BnBn＋1|，Sn＋1＝(h1＋|A1An＋1|)|BnBn＋1|，则Sn＋1－Sn＝|AnAn＋1||BnBn＋1|tanθ，都为定值，所以Sn＋1－Sn为定值，故选A.]2.(2016·全国Ⅰ，3)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A.100B.99C.98D.972.C[由等差数列性质,知S9＝＝＝9a5＝27,得a5＝3,而a10＝8,因此公差d＝＝1,∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.]3.(2015·重庆，2)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A.－1B.0C.1D.63.B[由等差数列的性质,得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0,选B.]4.(2015·北京，6)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是()A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C.若0＜a1＜a2，则a2＞D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞04.C[A,B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0， a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2>成立.]5.(2014·福建，3)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A.8B.10C.12D.145.C[设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.]6.(2014·辽宁，8)设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列，则()A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>06.C[{2a1an}为递减数列，可知{a1an}也为递减数列，又a1an＝a＋a1(n－1)d＝a1dn＋a－a1d，故a1d<0，故选C.]7.(2016·北京，12)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.7.6[ a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.]8.(2016·江苏，8)已知{an}是等差数列，Sn是其...
