第十章圆锥曲线考点1椭圆及其性质1.(2016·新课标全国Ⅰ，5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.1.解析如图,由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b.在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b,代入解得a2＝4c2,故椭圆离心率e＝＝，故选B.答案B2.(2016·新课标全国Ⅲ，12)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.2.解析设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.答案A3.(2015·广东，8)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A.2B.3C.4D.93.解析由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.答案B4.(2015·福建，11)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.4.解析左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形. |AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.离心率e＝＝＝＝∈，故选A.答案A5.(2014·大纲全国，9)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝15.解析由已知e＝＝，又△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋(|AF2|＋|BF2|)＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4，解得a＝，故c＝1，b＝＝，故所求的椭圆方程为＋＝1，故选A.答案A6.(2015·浙江，15)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________.6.解析设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标，kFQ＝，依题意解得又因为(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，令e＝，则4e6＋e2＝1，∴离心率e＝.答案7.(2014·江西，14)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.7.解析由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.9.(1)解由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)证明由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得NM＝，又AB＝(－a，b)，从而有AB·NM＝－a2＋b2＝(5b2－a2).由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以AB·NM＝0，故MN⊥AB.10.(2015·陕西，20)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，-1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.10.(1)解由题设知＝,b＝1,结合a2＝b2＋c2,解得a＝,所以椭圆的方程为＋y2＝1....
