高三数学一轮复习必备 第97-99课时：第十三章 导数-导数的应用(2)VIP免费

第97-99课时：第十三章导数——导数的应用(2)课题：课题：导数的应用2：函数问题（3课时）导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支，是解决实际问题的重要的数学工具。如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值以及不等式的证明等问题，均可以导数作为研究的工具，根据导数的意义进行求解和证明。关于导数的应用，我们将分两个讲座研究，分别是函数问题和切线与速度的问题。一、利用导数研究函数的单调性若函数fx在某个区间内可导，则当0fx时，fx在此区间上为单调增函数；而当0fx时，fx在此区间上为单调减函数。利用上述性质，可以研究函数的单调性。注意点：（1）同一函数的两个单调区间不能并起来（2）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法。二、利用导数求函数的最值求闭区间,ab上的可导函数的最大（小）值的方法是：首先求出此函数在开区间,ab内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将它们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值，这里无须对各驻点讨论其是否为极大（小）值点。如果函数不在闭区间,ab上可导，那么求函数的最大（小）值时，不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。一般地，求在闭区间,ab上连续，在开区间,ab内可导的函数fx在闭区间,ab上最值的步骤为：⑴求0fx在区间,ab内的根，即导数为0的点（不必确定它是极大值点还是极小值点），求出这些导数为0的点的函数值；⑵求fx在闭区间,ab两端点处的函数值，即fa与fb；⑶将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。一、范例分析例1．设函数)0)(,()(aaaxf在区间内为奇函数且可导，证明：1),()(aaxf是内的偶函数.证明：对任意xxfxxfxxfxxfxfaaxxx)()]([lim)()(lim)(),,(00由于)(xf为奇函数，)()(),()]([xfxfxxfxxf，于是)()()(lim)()(lim)(00xfxxfxxfxxfxxfxfxx，因此)()(xfxf即),()(aaxf是内的偶函数。例2．已知函数2)(23xcbxaxxxf在处取得极值，并且它的图象与直线33xy在点（1，0）处相切，求a、b、c的值.解：由曲线)(xfy过（1，0）得01cba①又axxxf23)(2+b则0412)2(baf②323)1(baf③解①②③得6,8,1cba.例3．已知cbxaxxxf23)(有极大值)(f和极小值)(f.（1）求)(f+)(f的值；（2）设曲线)(xfy的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在)(xfy上.解：（1）baxxxf23)(2，由于)(xf有极大值和极小值，、0232baxx为的两根，则)()()()(,3,322323cbacbaffba]2)[()](3)[(2)()()(232233acbacabacabbaaabacb2322742)32()]3(2)32[()]32(33)32[(2)(323（2）设(,()),(,()AfBf,由3332()()()()()()2222333aaafabcabc3211[()()]2732aabcff知AB的中点在)(xfy上。2例4．设函数1)1(3)(223kxkkxxf的驻点是0和4.（1）求常数k的值；（2）确定函数)(xf的单调区间；（3）求)(xf的极值。解：（1）xkkxxf)1(63)(2，由于驻点是0和4，∴0和4是方程0)1(632xkkx的两根，可求得31k(2)由（1）可知)4(4)(2xxxxxf，∴当)(,40xfxx或为增函数，)(,40xfx为减函数；（3）由（2）可判断极大值为,98)0(f极小值为988)4(f例5．求证：xe1x。证明：（1）当0x时，xe=1，1x=1，命题成立；（2）当x>0时，令)(xfxe1x，则1)(xexf>0)(xf在（0，）上为增函数x>0，)(xf>010)0(0ef即x...