课题:空间的距离一.复习目标:1.理解点到直线的距离的概念,掌握两条直线的距离,点到平面的距离,直线和平面的距离,两平行平面间的距离;2.掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化.二.知识要点:1.点到平面的距离:.2.直线到平面的距离:.3.两个平面的距离:.4.异面直线间的距离:.三.课前预习:1.在ABC中,9,15,120ABACBAC,ABC所在平面外一点P到三顶点,,ABC的距离都是14,则P到平面ABC的距离是(B)()A6()B7()C9()D132.在四面体PABC中,,,PAPBPC两两垂直,M是面ABC内一点,M到三个面,,PABPBCPCA的距离分别是2,3,6,则M到P的距离是(A)()A7()B8()C9()D103.已知PA矩形ABCD所在平面,cmAB3,cmPAcmBC4,4,则P到CD的距离为42cm,P到BD的距离为4345cm.4.已知二面角l为60,平面内一点A到平面的距离为4AB,则B到平面的距离为2.四.例题分析:例1.已知二面角PQ为60,点A和B分别在平面和平面内,点C在棱PQ上30BCPACP,aCBCA,(1)求证:PQAB;(2)求点B到平面的距离;(3)设R是线段CA上的一点,直线BR与平面所成的角为45,求CR的长(1)证明:作BMPQ于M,连接AM,∵30BCPACP,aCBCA,1∴MBCMAC,∴AMPQ,PQ平面ABM,AB平面ABM,∴PQAB.解:(2)作BNAM于N,∵PQ平面ABM,∴BNPQ,∴BN,BN是点B到平面的距离,由(1)知60BMA,∴3sin60sin30sin604aBNBMCB.∴点B到平面的距离为34a.(2)连接,NRBR,∵BN,BR与平面所成的角为45BRN,34aRNBN,3cos302aCMBC,∴12RNCM,∵60BMA,BMAM,BMA为正三角形,N是BM中点,∴R是CB中点,∴2aCR.小结:求点B到平面的距离关键是寻找点B到的垂线段.例2.在直三棱柱111CBAABC中,底面是等腰直角三角形,90ACB,侧棱21AA,ED,分别是1CC,与BA1的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G,(1)求BA1与平面ABD所成角的正弦值;(2)求点1A到平面ABD的距离.解:建立如图的空间直角坐标系,设1(,0,0)Aa,则1(0,,0)Ba,(,0,2)Aa,(0,,2)Ba,(0,0,2)C,∵ED,分别是1CC,与BA1的中点,∴(0,0,1),(,,1)22aaDE,∵G是ABD的重心,5(,,)333aaG,∴2(,,)663aaEG�,(,,0)ABaa�,2GEDC1B1A1CBAzGEDC1B1A1CBAxyFE1111DCBADCBA(0,,1)ADa�,∵EG平面ABD,,,EGABEGAD得2a,且BA1与平面ABD所成角EBG,6||3EG�,1132BEBA,2sin3EGEBGBE,(2)E是BA1的中点,1A到平面ABD的距离等于E到平面ABD的距离的两倍,∵EG平面ABD,1A到平面ABD的距离等于262||3EG�.小结:根据线段BA1和平面ABD的关系,求点1A到平面ABD的距离可转化为求E到平面ABD的距离的两倍.例3.已知正四棱柱1111ABCDABCD,11,2,ABAA点E为1CC的中点,点F为1BD的中点,(1)证明:EF为异面直线11BDCC与的公垂线;(2)求点1D到平面BDE的距离.解:(1)以1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立坐标系,则(1,1,0)B,1(0,0,2)D,(0,1,1)E,11(,,1)22F,11(,,0)22EF�,1(0,0,2)CC�,1(1,1,2)BD�,∴110,0EFBDEFCC�,∴EF为异面直线11BDCC与的公垂线.(1)设(1,,)nxy是平面BDE的法向量,∵(1,1,0)DB�,(0,1,1)DE�∴10nDBx��,0nDExy��,(1,1,1)n,点1D到平面BDE的距离1||233||BDndn��.小结:由平面的法向量能求出点到这个平面的距离.3OGFEDCBA五.课后作业:1.已知PD正方形ABCD所在平面,1PDAD,点C到平面PAB的距离为1d,点B到平面PAC的距离为2d,则()()A121dd()B121dd()C121dd()D211dd2.把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角,点A到BC的距离是()()Aa()B62a()C33a()D154a3.四面体ABCD的棱长都是1,,PQ两点分别在棱,ABCD上,则P与Q的最短距离是()()A2()B32()C56()D674.已知二面角l为45,30,,成与lABBlA角,5AB,则B到平面的距离为.5.已知长方体1111DCBAABCD中,12,51ABAA,那么直线11CB到平面11BCDA的距离是.6.如图,已知ABCD是边长为a的正方形,,EF分别是ADAB,的中点,CGABCD面,CGa,(1)求证://BDEFG;(2)求点B到面GEF的距离.47.在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中,(1)求:点A到平面1BD的距离;(2)求点1A到平面11DAB的距离;(3)求平面11DAB与平面DBC1的距离;(4)求直线AB到11BCDA的距离5