第五节定积分与微积分基本定理A组基础题组1.定积分的值为()A.e+1B.eC.e-D.e+2.若f(x)=则=()A.0B.1C.2D.33.(2014江西,8,5分)若f(x)=x2+2()A.-1B.-C.D.14.以初速40m/s竖直向上抛一物体,ts时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为()A.mB.mC.mD.m5.若函数f(x)=x-,则f(x)dx=.6.设函数f(x)=(x-1)x(x+1),则满足f'(x)dx=0(a>0)的实数a=.7.汽车以72km/h的速度行驶,由于遇到紧急情况而刹车,汽车以等减速度a=4m/s2刹车,则汽车从开始刹车到停止行驶的路程为m.8.已知f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f'(2)x+3,试求f(x)dx的值.9.求曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成的图形的面积.B组提升题组10.已知函数f(x)=则=()A.B.C.D.11.(2014湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)·g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.312.dx=.13.如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,直线OP与曲线y=x2围成图形的面积为S1,直线OP与曲线y=x2及直线x=2围成图形的面积为S2,若S1=S2,则点P的坐标为.14.如图,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).(1)求a,b,c的值;(2)求阴影部分的面积S关于t的函数S(t)的解析式.答案全解全析A组基础题组1.D==+e-1=+e.2.C=0+2x=2.3.B令4.A令v=40-10t2=0,得t2=4,t=2.所以所求高度h===80-=(m).5.答案e2-解析dx==e2-.6.答案1解析f'(x)dx=f(a)=0,故a=0或1或-1,又a>0,故a=1.7.答案50解析当时间t=0s时,速度v0=72km/h=20m/s,刹车后,汽车减速行驶,速度(单位:m/s)为v(t)=v0-at=20-4t.令v(t)=0,可得t=5s,所以汽车从刹车到停车,所走过的路程为:(20-4t)dt=(20t-2t2)=50(m).即汽车从开始刹车到停止,共行驶了50m.8.解析∵f(x)=x2+2f'(2)x+3,∴f'(x)=2x+2f'(2),∴f'(2)=4+2f'(2),∴f'(2)=-4,∴f(x)=x2-8x+3.∴f(x)dx==-18.9.解析作出曲线y=x2,直线y=x,y=3x,如图所示,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组可知交点A的横坐标为1,解方程组可知交点B的横坐标为3,因此,所求图形的面积为S=(3x-x)dx+(3x-x2)dx=2xdx+(3x-x2)dx=x2+=1+-=.B组提升题组10.B11.C由①得f(x)g(x)=sinxcosx=sinx,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的一组正交函数;由②得f(x)g(x)=x2-1,所以f(x)g(x)dx===-,所以②不是区间[-1,1]上的一组正交函数;由③得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以③为区间[-1,1]上的一组正交函数.故选C.12.答案解析表示四分之一单位圆的面积,为,所以结果是.13.答案解析设直线OP的方程为y=kx(k≠0),点P的坐标为(x,y),由题意,令(kx-x2)dx=(x2-kx)dx,则=,即kx2-x3=-2k-,解得k=,此时直线OP的方程为y=x,易知满足条件的点P的坐标为.14.解析(1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得(2)由(1)知函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+8x.由消去y,得x2-8x-t(t-8)=0,解得x=t,或x=8-t(舍).由定积分的几何意义知S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+[(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx=+=-t3+10t2-16t+.
