【高考领航】2016高三数学一轮复习第2章第10课时变化率与导数、导数的计算及几何意义课时训练文新人教版A级基础演练1．(2015·阳泉模拟)直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2解析：选C. y＝lnx的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2，∴切点为(2，ln2)．将其代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.2．(2015·辽宁五校联考)曲线y＝3lnx＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是()A．(0,1)B．(1，－1)C．(1,3)D．(1,0)解析：选C.y′＝＋1，令y′＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．3．(2015·云南统一检测)函数f(x)＝在点(1，－2)处的切线方程为()A．2x－y－4＝0B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0D．x＋y＋1＝0解析：选C.y′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.4．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3解析：选D.求出函数的导数后，将切点的横坐标代入，可得切线的斜率．令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.5．(2015·昆明市高三调研)若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选C.依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，b＝0，m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.6．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于__________．解析：依题意得，y′＝，曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线的斜率为，该切线方程是y＝(x－1)，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(1,0)、(0，－)，因此所求的三角形的面积等于×1×＝log2e.答案：log2e7．(2015·唐山模拟)曲线y＝alnx(a>0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积1为4，则a＝__________.解析： y＝alnx，∴y′＝，∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln1＝0，故切点为(1,0)，∴切线方程为y＝a(x－1)，∴×a×1＝4，∴a＝8.答案：88．(2013·高考江苏卷)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．解析：先利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法进行求解．由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－x＋z，可知当直线y＝－x＋z经过点A，B(0，－1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax＝，最小值zmin＝－2，故取值范围是.答案：9．(2014·高考重庆卷节选)已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.求a的值．解析：对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.B级能力突破1．(2015·郑州市高三质检)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为()A．2B．－1C．1D．－2解析：选C. 直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a.∴解得a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.2．(2015·山东滨州模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，如果f′(x)是二次函数，f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B.由题意知f′(x)＝a(x－1)2＋(a>0)，所以f′(x)＝a(x－1)2＋≥，即tanα≥，所以α∈.3．(2015·辽宁五校联考)已知曲线f(x)＝3mx＋sinx上存在相互垂直的两条切线，则实数m的值为()A.B．－C．1D．0解析：选D.f′(x)＝3m＋cosx，因存在相互垂直的切线，所以设(3m＋cosx1)(3m＋cosx2)2＝－1，整理得方程：9m2＋3(cosx1＋cosx2)m＋1＋cosx1cosx2＝0，关于m的方程有解，所以Δ＝9(cosx1－cosx2)2－36≥0恒成立，所以只有在cosx1与cosx2中一个为1另一个为－1...
