第一节坐标系A组基础题组1.(1)化直角坐标方程x2+y2-8x=0为极坐标方程;(2)化极坐标方程ρ=6cos为直角坐标方程.2.在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.3.已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,求点A到直线l的距离.4.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.5.在极坐标系中,求曲线ρ=4cos上任意两点间的距离的最大值.6.在极坐标系中,直线ρ(sinθ-cosθ)=a与曲线ρ=2cosθ-4sinθ相交于A,B两点,若|AB|=2,求实数a的值.B组提升题组7.(2016江苏南京模拟)已知直线l:ρsin=4和圆C:ρ=2kcos(k≠0).若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2,求实数k的值,并求圆心C的直角坐标.8.(2016贵州联考)在一个极坐标系中,已知点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心,半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程),并画出图形;(2)在直角坐标系中,以圆C所在极坐标系的极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点,Q(5,-),M是线段PQ的中点,当点P在圆C上运动时,求点M的轨迹的普通方程.9.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ,ρcos=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)将代入x2+y2-8x=0得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-8ρcosθ=0,即ρ2-8ρcosθ=0,∴极坐标方程为ρ=8cosθ.(2)因为ρ=6cos,所以ρ=6,即ρ2=3ρcosθ+3ρsinθ,所以x2+y2=3x+3y,即x2+y2-3x-3y=0.∴直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.2.解析将极坐标方程化为直角坐标方程得,圆的方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a=0.由题意知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即=1,解得a=-8或a=2.故a的值为-8或2.3.解析由2ρsin=,得2ρ=,∴y-x=1,即x-y+1=0.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2,-2),∴点A到直线l的距离d==.4.解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsinθ-cosθ-4=0,化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为.5.解析由ρ=4cos可得ρ2=4ρ=2ρcosθ+2ρsinθ,即得直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,配方可得(x-1)2+(y-)2=4,所以该曲线是一个圆,且圆的半径为2,则圆上任意两点间的距离的最大值为4.6.解析将直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x-y+a=0,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5,所以圆心的坐标为(1,-2),半径r=,所以圆心到直线的距离为==,解得a=-5或a=-1.故实数a的值为-5或-1.B组提升题组7.解析对于圆C,∵ρ=kcosθ-ksinθ,∴ρ2=kρcosθ-kρsinθ,∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-kx+ky=0,即+=k2,∴圆心的直角坐标为.对于直线l,∵ρsinθ·-ρcosθ·=4,∴直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,∴-|k|=2.即|k+4|=2+|k|,两边平方,得|k|=2k+3,∴或解得k=-1,故圆心C的直角坐标为.8.解析(1)如图,延长OC交圆C于D.设圆C上异于O,D的任意一点A(ρ,θ),则∠AOC=θ-或-θ.在△AOC中,由余弦定理,得4+ρ2-4ρcos=4,整理得ρ=4cos,经验证O,D两点的极坐标也适合上式,∴圆C的极坐标方程为ρ=4cos.(2)在直角坐标系中,点C的坐标为(1,),可设P(1+2cosα,+2sinα)(α为参数),设M(x,y),∵Q(5,-),M是线段PQ的中点,∴M的参数方程为⇒(α为参数).∴点M的轨迹的普通方程为(x-3)2+y2=1.9.解析(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离d==>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点,亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则即①因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,所以ρ0cos=1,②将①代入②,得cos=1,即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为+=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.
