数学20分钟专题突破14（空间向量与立体几何）一.选择题1．下列命题中，假命题是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（A）a、b是异面直线，则一定存在平面过a且与b平行（B）若a、b是异面直线，则一定存在平面过a且与b垂直（C）若a、b是异面直线，则一定存在平面与a、b所成角相等（D）若a、b是异面直线，则一定存在平面与a、b的距离相等2下列命题中，真命题是（）（A）若直线m、n都平行于，则nm//（B）设l是直二面角，若直线,lm则m（C）若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且nm，则n或//n（D）若直线m、n是异面直线，//m，则n与相交3．如果直线ml,与平面,,满足：,,,//,mmll那么必有（）（A）ml,（B）//,m（C）mlm,//（D）,//4．设,是两个不重合的平面，m和l是两条不重合的直线，则//的一个充分条件是（）（A）,,ml且//,//ml（B）,,ml且ml//（C）,,ml且ml//（D）,//,//ml且ml//5．已知直二面角l，直线,m直线,n且m、n均不与l垂直，则（）（A）m、n可能不垂直，但可能平行（B）m、n可能垂直，但不可能平行（C）m、n可能垂直，也可能平行（D）m、n不可能垂直，也不可能平行6．二面角EF是直二面角，,,,BCACEFC如果∠ACF＝30,,60,00BCFACB那么cos（）（A）332（B）36（C）22（D）33二.填空题1.已知正四棱锥P—ABCD的高为4，侧棱长与底面所成的角为060，则该正四棱锥的侧面积是．2.已知,、是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若l,，则//l；②若//,ll，则；③若l上有两个点到的距离相等，则//l；④若//,，则。其中正确命题的序号是3.正三棱锥ABCP高为2，侧棱与底面成045角，则点A到侧面PBC的距离是三.解答题如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC,E，F分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;用心爱心专心（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值.答案：一.选择题1.选B2.选C3.选A4选C5.选A6.选D二.填空题1.32732.②④3.655三.解答题（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以AE⊥PD.（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=3，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA=36,2AEAHAH因此AH=2.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.解法一：因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=32，AO=AE·cos30°=32,又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=324,又223830,494SEEOSO在Rt△ESO中，cos∠ESO=32154,5304SOSE即所求二面角的余弦值为15.5用心爱心专心解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（3，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（3，0，0），F（31,,122），所以31(3,0,0),(,,1).22AEAF�设平面AEF的一法向量为111(,,),mxyz则0,0,mAEmAF��因此111130,310.22xxyz取11,(0,2,1),zm则因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故BD�为平面AFC的一法向量.又BD�=（-3,3,0），所以cos＜m,BD�＞=2315.5||||512mBDmBD��因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为15.5www.ks5u.com用心爱心专心
