高三数学 特殊数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明 知识精讲VIP免费

高三数学特殊数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明知识精讲一.特殊数列求和：1.概念：这里所指的“特殊数列”是指中学阶段能够求和的数列，包括：等差、等比数列，常数列，自然数列，自然数的平方数列，自然数的立方数列，项部分相消数列等。数列求和，就是通过一些手段将数列转化为上述这些特殊数列而达到求和的目的。2.常用求和公式（1）等差：Snaananndnn()()11212（2）等比：Snaqaqqqnn111111()()()（3）innin1121()（4）innnin211216()()（5）innin31212[()]3.常见数列求和的方法大致有五种如：直接由求和公式求和（如等差、等比数列的求和），裂项分组求和，裂项相消求和，错位相减求和，倒序相加求和。（1）在求等比数列前n项和Sn时，一定要注意分清公比q1还是q1；（2）裂项法的关键是研究通项公式，裂项的目的是转化成几个等差或等比数列或自然数的平方组成的数列求和，或者正、负相消；（3）错位相减法求和，主要用于一个等差与一个等比数列相应项相乘所得的数列求和；（4）含有组合数的数列求和，注意考虑利用组合数的性质公式求和或利用倒序相加求和；（5）三角函数求和考虑裂项相消求和或利用复数转化为等比数列求和；学习时，还要注意归纳总结一些常见类型的数列求和方法。二.数列极限的意义及运算1.数列极限的概念对于数列{}an，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正整都能在数列中找到一项aN使得这一项后面的所有项an与A的差的绝对值都小于，（即当nN时，恒有||aAn成立），就把常数A叫做数列{}an的极限，记作：limnnaA。2.数列极限概念的理解理解数列极限的概念要注意以下几点：（1）A与n无关，A与无关，A与N无关；A是否存在以及A的值确定，由数列{}an来决定；（2）N与n无关，N与有关，一般来说，的值不同，N也不同；另一方面N并不惟一，因为如果N具有该性质，那么NNNkkN12，，，()都具有该性质，考察数列的极限时并不需要找出N的最小值；Www.chinaedu.com0013期版权所有不得复制1（3）定义的核心是“对一切nN，都有||aAn”这个不等式成立，也就是有AaAn，这里“0”是“任意预先给定”而不是“存在”一个0。（4）有穷数列无极限，数列极限的研究对像是无穷数列。（5）不是所有的无穷数列都有极限；如果一个数列有极限，那么其极限也只有一个。3.数列极限四则运算如果limlimnnnnaAbB，，那么（1）lim()nnnabAB（2）lim()nnnabAB（3）lim()nnnabABB0（4）lim()nncacA（c为常数）（5）lim()nnkkaA（k为常数）4.几个常用极限及其应用（1）limncc（C为常数）（2）limnn10（3）lim()()(||)nnqqqqq0111111无或（4）lim()()nmmmpppananabnbnampabmpmp011011000无（5）limlimnnnnaa1（无穷数列）三.数列极限的应用1.数列的各项和的概念无穷数列各项的和，它的实质是前n项和Sn的极限。2.无穷递缩等比数列的各项和公式Saqq111(||)3.无穷递缩等比数列各项和存在的充要条件是||q1（q0），要注意公式的含义及适用范围。4.综合运用（1）化循环小数为分数，基本方法是转化为无穷递缩等比数列的各项和。（2）求某些特殊数列的各项和。（3）与几何图形有关的应用问题。基本解题思路是：首先结合图形分析相邻图形的依赖关系，论证所求问题可否组成一个无穷等比数列，且公比绝对值小于1，然后代入计算。四.数学归纳法用数学归纳法证明命题的具体步骤是：（1）证明当n取第一个初始值n0（例如nn0012，等）时，结论正确。（2）假设当nkkNkn()且0时结论正确，证明当nk1结论也正确。在完成这两个Www.chinaedu.com0013期版权所有不得复制2步骤后，就可以断定命题对从nn0开始的所有的自然数n都正确。上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。五.归纳、猜想、证明1.理解归纳法的意义由一系列...