高三数学 数列的概念、等差数列、等比数列 等差、等比数列的综合运用 知识精讲VIP免费

高三数学数列的概念、等差数列、等比数列等差、等比数列的综合运用知识精讲（一）数列的概念1.数列的概念数列是按一定顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为自然数集N+（或它的有限子集（1，2，…，n））的函数fn()当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值fffn()()()12，，…，…，通常用an代替fn()，于是数列的一般形式为aaan12，，…，，…，简记为{}an，其中an是数列{}an中的第n项。（项与项数的函数关系项次ann）2.数列的通项公式一个数列{}an的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式afnn()来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。数列的前n项和SaSnnn1aSSnSnnnn1121()()3.数列的分类（1）按照项数有限还是无限来分；有穷数列和无穷数列。（2）按照项与项之间的大小关系来分；递增数列、递减数列、摆动数列和常数列，递增数列与递减数列统称为单调数列。（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一个正数来分：有界数列和无界数列。||aMn4.递推关系一个数列的项与项之间的一种关系，叫做递推关系。它包括初始值与相邻两项或几项之间的关系式两部分。5.数列的通项公式是数列概念的重点内容，依据一定的条件去求数列的通项公式则是数列概念的难点。求数列的通项公式必须掌握以下一些基本题型：（1）根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式，解决这一题型的关键是通过观察、分析、比较、去发现项与项之间的关系。如果关系不明显时，应该将项作适当变形或分解，让规律突现出来，便于找到通项公式；同时还要借助一些基本数列的通项及其特点如：自然数列、自然数的平方数列、偶数列、奇数列、摆动数列等。（2）已知Sn求an；已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是aSSnnnn12()这里常常因为忽略了条件n2而出错，即由aSSnnn1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n1时，SSn10而与前n项和的定义矛盾，可见由此求得的an不一定就是它的通项公式，必须验证n1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数aSnSSnnnn1112()()来表示。（3）已知数列的递推关系式求数列的通项公式。此一题型求数列通项的方法大致分两类，一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明：另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元法、或转化基本数列（等差或等比）方法求算通项。Www.chinaedu.com0012期版权所有不得复制1（二）等差数列1.等差数列的定义一个数列{}an，如果从第二项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，即满足：aadnn1（常数），则称这个数列为等差数列。2.等差数列的通项公式（1）aanddnadn111()（2）aanmddaanmnmnm()（公差公式）aann113.等差数列前n项和公式（1）Snaann()12（2）Snannddnadnn1211222()()Saaann12…（不含常数项）4.等差中项如果三数a、b、c成等差数列，那么b叫做a和c的等差中项，即bac12()。{}an是等差212aaannn5.等差数列的性质设等差数列为{}an，其前n项和为Sn，则（a）若mnpqmnpqN()、、、，则aaaamnpq（a’）aaaaaannrnr1211……；（b）SSSSSSSnnnnnknkn，，，…，，…2321()成等差数列；（c）Snann2121()，事实上，对于等差数列{}an，Snaanannn2112121221()()()（d）d0递增；d0递减；d0常数列6.数列{}an为等差数列的判定和证明（充要条件）（a）证明方法：定义法即若一个数列{}an满足aadnn1（d是一个与n无关的常数），则数列{}an为等差数列。（b）常见的判定方法（充要条件）：若一个数列{}an满足：aanbn或Sanbnn2（a，b为常数）或212aaannn，则这个数列为等差数列。（三）等比数列1.等比数列的定义一个数列{}an，如果从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数，即满足：aaqnn1（常数），则称这个数列为等比数列。由等比数列的定义可知：aqn00，。2.等比数列...