高三数学 不等式解析汇编 新人教A版VIP免费

数学不等式解析汇编不等式问题中涉及的方法与技巧很多，这几年高考中对不等式的要求有所降低。但我们对一些较常见的方法与技巧也必须要有一定的了解。下面通过几个具体的例题，来说明一下，希望对学生解题能力的培养与方法的提升有所帮助。一、配凑系数的技巧例1设x、ｙ、ｚ都是正数，则2222zyxyzxy的最大值为（）。Ａ、１Ｂ、２Ｃ、25Ｄ、552分析：在我们用均值不等式时，经常会用到配凑系数来求最值。显然如果我们直接处理2524222222222zyxzyyxyzxy，显然与分母的比值不是常数。我们很希望通过利用均值不等式将分子中2y的系数调整为1，如何实现这个目标呢？我们注意到xy的系数为1，而yz2的系数为2。联想到三角函数中的化一公式（或称辅助角公式），)sin(cossin22xBAxBxA，（其中)tan,0ABAB。我们不妨可以借鉴这里所使用的方法来处理，从而对y的系数进行调整。提出52122来，这样yzxy2)2(5)25425(5)525(52222222zyxzyxyzyxy。这样y2的系数调整成1，分子与分母的比值为常数25。也实现了我们的最初目的。这里我们处理的手段就是配凑系数。解法略。二、常值代换的技巧.例2、已知yxyxyx则且,191,0,0的最小值为。分析:有些不等式问题中在求最值和范围时要利用常数“1”的代换技巧解：191,0,0yxyx且，169210910))(91(yxxyyxxyyxyxyx,当且仅当号等时取即""12,49yxyxxy.故最小值为16.1评析：本题除此法外，还可以用三角换元的方法。三、巧妙赋值.例3.设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A.]31,31[B.]21,21[C.]31,41[D.[−3，3]分析：我们可用附值法可若令ax32，则有31||a，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。注意若仅令x=0或2a将会得到错误结果。我们有更一般的解决方法吗？对k∈R，不妨令kax21，（当然也可令kax），则原不等式为2|||34|||23|1|||akaka，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||kka，对任意的k∈R成立。由于125334121134325|34|23|1|kkkkkkkk，所以31|}34|23|1{|minRkkk，从而上述不等式等价于31||a。四、函数与数形结合思想的运用例4．已知21,)11(,1,02xax，xaa若不等式时当且恒成立,则a的取值范围为.分析：此不等式是一个超越不等式，要求出a的范围有些同学可能会想到反解a，但是这显然做不到。这样我们不妨将原不等式变形为.)1,1(,212时恒成立在xxax设函数21)(,)(2xxgaxfx，这两个函数我们还是较熟悉的。在同一坐标系内，分别作出它们的图像。由函数的单调性及图像可知:当21),1()1(,1agfa得需时当121),1()1(,10agfa得需时.故a的取值范围为]2,1()1,21[.五、两边夹的思想方法两边夹的方法，对于解决不能通过计算准确求解的不等式问题是一种很好的方法。在以前的高考中也曾出现过。这种方法很好的考查了学生的思维。2fx=axgx=x2-0.5fx=axOXY1-1例5．已知函数)(xf满足)1(21)(2xxfx，对一切实数x恒成立，则)1(f分析：因为)1(21)(2xxfx对一切实数x恒成立，不妨令1x，则有1)1(,1)11(21)1(12ff。另外，还有构造法及一些特殊不等式如柯西不等式.有兴趣的同学可以参考一些课外资料学习一下.跟踪练习：1、已知Rrqp,,，则2223rqpqrpq的最大值为（）。Ａ、１Ｂ、２Ｃ、25Ｄ、5522、命题p：关于x的不等式2420xexxm对于一切实数x均成立，命题q：3m，则p是q成立的（）。(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件3、已知函数2()21fxxx，若存在实数t，当[1,]xm时()fxtx恒成立，则实数m的最大值为(A)2(B)3(C)4(D)54、已知))((,1,,,zyyxxyzzyxRzyx则且的最小值为.5、设二次函数)0,,,()(2aRcbacbxaxxf且满足条件：（1）当Rx时，;)(),2()4(xxfxfxf且（2）当2)21()(),2,0(xxfx时；（3）)(xf在R上的最小值为0.则)(xf=.3