3直线和直线平行3.1直线和直线平行的定义【例1】下列命题中，正确的是（）A．两条直线a，b的没有公共点，那么a与b平行B．直线a、b，平面、满足a，b，∥，则a∥bC．若a∥b，b∥c，则过a，b，c有且仅有一个平面D．a，b，c，d是四条直线，a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d【解析】两条直线没有公共点包含平行和共面两种情形，A，B错误；a，b，c有可能不在同一平面内，此时不能确定平面，C错；由平行公理，D正确．【评注】在同一平面内且不相交的两条直线叫做平行直线．3.2直线和直线平行的判定【例2】如图，棱锥的底面为正方形，点分别是棱上共面的四点，平面，证明：.【解析】因为平面，，且，由线面平行的性质，所以．同理可证，由公理4，因此．【评注】线面平行性质定理是判定直线和直线平行的重要方法：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行，其推理模式：．【变式1】平行于同一条直线的两条直线平行，其推理模式：．四面体及其三视图如图所示，平行于棱的平面分别交四面体的棱于点，则四边形是(平行四边形、菱形、矩形、正方形).【解析】∵平面，平面平面，平面平面，∴，由平行公理4知，；同理，，所以四边形是平行四边形．∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．故答案为矩形。【变式2】两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行，其推1理模式：．如图，已知平面，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连接AD和BC分别交β于F，H，则四边形是四边形.【解析】由AB，AD确定的平面与平行平面β和γ的交线分别为EF和BD，由于，所以；平面分别交β，γ于.由于，所以.由平行公理4知，HG∥EF．同理EH∥FG.故四边形EFGH为平行四边形．故答案为平行。【变式3】垂直于同一个平面的两条直线平行，其推理模式：．如图，正方体中，与异面直线都垂直相交，求证：．【解析】连接．因为，所以．又，所以．故．同理，所以．又，又，所以．所以．3.3直线和直线平行的性质【例3】如图示，有一块木料，已知其棱平行于面，要经过木料表面内的一点和棱将木料锯开，应怎样画线？判断所画的线和平面的位置关系并加以证明.【解析】∵平面面，面∩面，∴.经过点P，在面上画线段，那么.∴平面，平面，连结和，则、和就是所要画的线。∵，∴平面，而、显然都和面相交.【评注】直线和直线的平行关系的考查，可以运用平行公理、中位线定理等知识.【变式】借助于相关的几何模型判断直线和直线的平行关系.给出下列四个命题：2①平行于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行；④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直.其中正确命题的序号是_______(写出所有正确命题的序号).【解析】①中平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能异面，①不正确；根据直线与平面垂直的性质定理知，②正确；③若直线l与平面α平行，则l必平行于α内某一方向上的无数条直线，故③不正确；④显然正确.故答案为②④.3
