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高三数学 1直线与直线垂直试题-人教版高三全册数学试题VIP免费

高三数学 1直线与直线垂直试题-人教版高三全册数学试题_第1页
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1.直线与直线垂直1.1空间直线的垂直定义【例1】若空间中四条两两不同的直线1l、2l、3l、4l,满足12ll,23//ll,34ll,则下列结论一定正确的是()A.14llB.14//llC.1l、4l既不平行也不垂直D.1l、4l的位置关系不确定【解析】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设BB1是直线l1,BC是直线l2,AB是直线l3,则DD1是直线l4,l1∥l4;设BB1是直线l1,BC是直线l2,CC1是直线l3,CD是直线l4,则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定.【评注】考查空间中直线的位置关系,合理地构造几何模型进行判断即可.【变式】如果两条直线所成的角为,则这两条直线垂直.如图,在直三棱柱中,,,BC=1,,M是CC1的中点.求证:.【解析】因为三棱柱为直棱柱,故,所以,又,故,则平面.连接,则为在平面内的射影.可得到∽,则,因为,所以,∴.由三垂线定理可得.1.2直线与直线垂直的判定【例2】平面,证明:.【解析】因为,所以;因为,所以,所以平面,又平面,所以.【评注】如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线,其推理模式:.【变式1】三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直,其推理模式:.1如图,斜边为的,.证明:;【解析】因为,,所以,又,所以.【变式2】三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直,其推理模式:.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.【解析】已知:在内,于,于且,求证:在的平分线上(即).分析:∵,∴(三垂线定理逆定理);∵,∴,∴,又∵,∴,∴.【变式3】三垂线定理的定理与逆定理的综合应用.点为所在平面外的一点,点为点在平面内的射影,若,求证:.【解析】连结,,且,∴(三垂线定理逆定理);同理,∴为的垂心,∴,又,∴(三垂线定理).1.3直线与直线垂直的性质【例3】如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.证明:.【解析】∵D1D⊥面ABCD,且BD⊂面ABCD,∴D1D⊥BD.又∵AB=2AD,∠BAD=60°,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°=3AD2,∴AD2+BD2=AB2.即AD⊥BD.2又∵AD∩D1D=D,∴BD⊥面ADD1A1.又AA1⊂面ADD1A1,∴AA1⊥BD.【评注】直线和直线垂直是证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的根本.【变式】直线与平面垂直、平面与平面垂直往往须借助于直线和直线垂直加以证明.如图,三棱柱111ABCABC中,CACB,1ABAA,160BAA.证明:1ABAC.【解析】取AB得中点O,连结OC,1OA,1AB.因为CACB,所以OCAB.由于1AAAB,601BAA故1AAB为等边三角形,所以1OAAB.因为,所以1ABOAC平面,又COACA11平面,故1ABAC.3C1B1AA1BC

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