1.三视图与直观图1.1空间几何体的三视图【例1】（2015·广州）将正方形（如图1-1所示）截去两个三棱锥，得到图1-2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）图1-1图1-2【解析】由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．故选B．【评注】三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方正投影得到的最大的直截面，必须遵循“正视图、俯视图的长对正，正视图、侧视图的高平齐，俯视图、侧视图宽相等”的原则，确定后要检验是否符合这三个基本特征.【变式1】构造正方体研究几何体的三视图在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）.给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【变式1】答案D【解析】告诉了四面体的顶点坐标，就可以画出此几何体，但画正视图和俯视图不直观，所以可以补全正方体，再选答案，如图1-3选D.【变式2】运用正投影和直截面求解最值已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.【变式2】答案1③③①①①④④②图②222oyx图1-3【解析】如图4，正三棱柱中，分别是的中点，则当面与侧面平行时，左视图面积最小，且面积为.图1-41.2利用三视图探究空间几何体【例1】（2014·全国新课标1）如图1-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A.B.6C.D.4【解析1】由三视图直接确定几何体确定最长的棱.根据三视图可知,该几何体是一个三棱锥,如图1-5所示,侧面SBC⊥底面ABC.顶点S在底面ABC内的射影O恰好是BC中点,△ABC为直角三角形.∵AB=4,BO=2,∴,SO⊥底面ABC,所以SO⊥AO,SO=4,所以,最长的棱为.【解析2】特殊三棱锥纳入正方体确定几何体确定最长的棱由三视图该几何体是四面体且四面体长、宽、高均为4，故可考虑如图1-6所示的棱长为4的正方体内的三棱锥ECC1D1(其中E为BB1的中点)，其中，，所以,最长的棱为D1E＝.图1-5图1-6【评注】若几何体的三视图中有两个视图为三角形，则该几何体为锥体；如果视图中有两个平行四边形，则该几何体可能为柱体；如果视图中有两个梯形，则该几何体可能为台体；如果三视图中如果出现两个或三个矩形或直角三角形，就可考虑以长方体为载体视图还原.【变式1】三视图出现三个矩形，就可考虑长方体为载体若一棱锥的三视图如图1-7所示，则该棱锥的体积为【变式1】答案20【解析】以补形为图1-8的长方体，又该几何体为锥体，易知该几何体为对棱相等的四面体，运用割补法求体积即可：2图1-7２图1-8【变式2】视图中有两个平行四边形和圆，可考虑圆柱体（15天津文10.）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为.【变式2】答案【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.3
