第十章第十节离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)题组一离散型随机变量的均值问题1.已知随机变量X的分布列为X－2－10123Pmn其中m，n∈[0,1)，且EX＝，则m，n的值分别为()A.，B.，C.，D.，解析：由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝，由EX＝，得－m＝，∴m＝，n＝.答案：D2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则EX等于________．解析：X＝0时，P＝；X＝1时，P＝；X＝2时，P＝，∴EX＝0×＋1×＋2×＝＝.答案：3．(2009·重庆高考)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记X为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X的分布列及数学期望．解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为Y，由已知，Y～B(3，)，且X＝3－Y，所以1P(X＝0)＝P(Y＝3)＝C()3＝，P(X＝1)＝P(Y＝2)＝C()2()＝，P(X＝2)＝P(Y＝1)＝C()()2＝，P(X＝3)＝P(Y＝0)＝C()3＝.故X的分布列为：X0123PX的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai＋Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝，所以X～B(3，)，即P(X＝k)＝C()k()3－k，k＝0,1,2,3.故X的分布列是：X0123PX的数学期望EX＝3×＝2.题组二离散型随机变量的方差问题4.设X是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又EX＝15，DX＝，则n与p的值为()A．60，B．60，C．50，D．50，解析：由X～B(n，p)，有EX＝np＝15，DX＝np(1－p)＝，∴p＝，n＝60.答案：B5．已知随机变量X的分布列为X123P0.5xy若EX=，则DX等于（）A.B.C.D.解析：由分布列的性质得x＋y＝0.5，又EX＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝.所以DX＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝.答案：B6．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现2从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为：X01234P∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(Y)＝a2DX，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aEX＋b，∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴或即为所求．题组三离散型随机变量的均值与方差的实际应用7.“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为________元．解析：设公司每月对这辆车收入为X元，则其分布列为：X－1002500P0.20.8故EX＝(－100)×0.2＋2500×0.8＝1980元．答案：19808．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是________.自然状况方案概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10解析：利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.答案：A39．(2010·徐州模拟)某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果3盈利通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是1/3.每次测试通过与否互相...
