第八章第十节圆锥曲线的综合问题（理）题组一直线和圆锥曲线的位置关系问题1.若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为()A．至多一个B．2个C．1个D．0个解析：由直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点得>2，m2＋n2<4，点(m，n)表示的区域在椭圆＋＝1的内部，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2个．答案：B2．抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆．答案：C3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6＋m4＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y2－2mpy＋2pm＝0，∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4p2m2－8pm.又焦点在x－my＋m＝0上，∴p＝－2m，∴|y1－y2|＝4，∴S△OAB＝×|y1－y2|＝2，－m＝，平方得m6＋m4＝2.答案：2题组二直线与圆锥曲线相交中的弦长问题4.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与拋物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B.C.D.解析：过A、B作拋物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由拋物线定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， 2|BF|＝|AF|，∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．1从而yA＝2yB，联立方程组⇒消去x得：y2－y＋16＝0，∴⇒⇒消去yB得k＝.答案：D5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A．3B．4C．3D．4解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，由⇒x2＋x＋b－3＝0⇒x1＋x2＝－1，得AB的中点M(－，－＋b)，又M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1，∴x2＋x－2＝0，则|AB|＝＝3.答案：C6．(2008·全国卷Ⅱ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．解析：F(1,0)，∴直线AB的方程为y＝x－1.⇒x2－6x＋1＝0⇒x＝3±2. |FA|>|FB|，由抛物线定义知A点的横坐标为3＋2，B点的横坐标为3－2.＝＝＝＝＝3＋2.答案：3＋2题组三最值与取值范围问题7.(2009·银川模拟)已知对∀k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞)D．[1,5)解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点，只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴≤1，又m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.答案：C8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为________．解析：设∠F1PF2＝θ，由得∴cosθ＝＝－e2.2 cosθ∈[－1,1)，∴1＜e≤.答案：题组四综合问题9.已知动圆过定点(2,0)，且与直线x＝－2相切．(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点(0,2)，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足·＝0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)如图，设M为动圆圆心，F(2，0)，过点M作直线x＝－2的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|＝|MN|，即动点M到定点F与到定直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(2,0)为焦点，x＝－2为准线，所以动圆圆心轨迹C的方程为y2＝8x.(2)由题可设直线l的方程为x＝k(y－2)(k≠0)，由，得y2－8ky＋16k＝0，Δ＝(－8k)2－4×16k>0，解得k<0或k>1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝8k，y1y2＝16k，由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即k2(y1－2)(y2－2)＋y1y2＝0，整理得：(k2＋1)y1y2－2k2(y1＋y2)＋4k2＝0，代入得16k(k2＋1)－2k2·8k＋4k2＝0，即16k＋4k2＝0，解得k＝－4或k＝0(舍去)，所以直线l存在，其方程为x＋4y－8＝0.10．已知双曲线C：－＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使·＝0，其中点O为坐标原点．解：设M(x1，...
