第二章第四节函数的奇偶性题组一函数的奇偶性的判定1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析： f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，∴b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx.答案：A3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是()A.任意a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B.任意a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C.存在a∈R，f(x)是偶函数D.存在a∈R，f(x)是奇函数解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－，令f′(x)＞0得x＞2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A、B错.当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确.D显然错误，故选C.答案：C题组二函数奇偶性的应用4.已知函数f(x)＝ax4＋bcosx－x，且f(－3)＝7，则f(3)的值为()A.1B.－7C.4D.－10解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，则g(x)＝g(－x).由f(－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f(3)＝g(3)－3＝4－3＝1.答案：A5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(1)A.－2B.2C.－98D.98解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.答案：A6．(2010·广州模拟)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f()的值是()A．0B.C．1D.解析：若x≠0，则有f(x＋1)＝f(x)，取x＝－，则有f()＝f(－＋1)＝f(－)＝－f(－)＝－f()( f(x)是偶函数，∴f(－)＝f())，由此得f()＝0，于是，f()＝f(＋1)＝f()＝f()＝f(＋1)＝××f()＝5f()＝0.答案：A7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.解析： f(2)＝22－3＝1，又f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.答案：－18.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为.解析：当x＞0时，f(x)＝0即2008x＝－log2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2008x，f2(x)＝－log2008x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.答案：3题组三函数的奇偶性与单调性的综合问题9.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则()A.f(3)＜f(－2)＜f(1)B.f(1)＜f(－2)＜f(3)C.f(－2)＜f(1)＜f(3)D.f(3)＜f(1)＜f(－2)解析：由已知＜0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)＜f(－2)＜f(1)，故选A.此类题能用数形结合更好.答案：A10.(2009·福建高考)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A.y＝x2＋1B.y＝|x|＋1C.y＝2D.y＝解析： f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数，故选C.答案：C11.(2009·山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝.解析：由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)，故函数图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0，根据对称性知函数f(x)在[2,4)上大于0，同理推知函数f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于直线x＝2对称，故此两根之和等于4，根据f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，函数f(x)以8为周期，故在区间(－8,0)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于直线x＝－6对称，此两根之和等于－12，综上四个根之和等于－8.答案：－812.(文)已知函数f(x)＝是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)的区间[－1，a...
