第七章第五节简单几何体的面积和体积题组一棱柱、棱锥、棱台的面积1.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是()A.a2B.a2C.a2D.a2解析:设正三棱锥的侧棱长为b,则由条件知b2=a2,∴S表=a2+3××a2=a2.答案:A2.(2010·珠海模拟)已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是()A.4+B.2+C.3+D.6解析:由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱.S表=S侧+2S底=(1+1+)×1+2××1×1=3+.答案:C题组二棱柱、棱锥、棱台、球的体积3.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是()A.6B.3C.11D.12解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则有ab=2,bc=6,ac=9,∴V===6.答案:A4.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是,则这个三棱柱的体积是()A.96B.16C.24D.48解析:由πR3=,∴R=2.∴正三棱柱的高h=4.设其底面边长为a,则·a=2,∴a=4.∴V=(4)2·4=48.答案:D5.(2009·浙江高考)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是________cm3.1解析:由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3cm,高为1cm的长方体构成,故其体积为2(3×3×1)=18(cm3).答案:18题组三圆柱、圆锥、圆台、球的面积、体积6.(2009·全国卷Ⅱ)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于________.解析:设圆C的半径为r,有πr2=.得r2=.又设球的半径为R,如图所示,有|OB|=R,|OC|=·=R,|CB|=r.在Rt△OCB中,有|OB|2=|OC|2+|CB|2,即R2=R2+r2⇒R2=,∴R2=2,∴S球=4πR2=8π.答案:8π7.(2009·江西高考)体积为8的一个正方体,其表面积与球O的表面积相等,则球O的体积等于________.解析:设正方体棱长为a,则a3=8,∴a=2.∵S正方体=S球,∴6×22=4πR2,∴R=.V球=πR3=π()3=.答案:题组四空间几何体的体积和面积的综合8.(2010·含山模拟)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6cm2、4cm2、3cm2,那么它的外接球体积是________.解析:依题意,设这个三棱锥的侧棱分别为a、b、c,则有ab=12cm2,bc=8cm2,ac=6cm2,解得a=3cm,b=4cm,c=2cm.这个三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为长、宽、高的长方体的外接球,所以外接球的半径为cm,体积为πcm3.答案:cm39.(2010·泉州模拟)如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、左视图(其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,左视图为直角三角形,尺寸如图所示)2(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)证明:BD∥面PEC;(3)若G为BC上的动点,求证:AE⊥PG.解:(1)由几何体的三视图可知,底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥面ABCD,PA∥EB,且PA=42,BE=22,AB=AD=CD=CB=4,∴VP-ABCD=13PA·SABCD=13×42×4×4=6423(2)证明:连接AC、BD交于O点,取PC中点F,连接OF,∵EB∥PA,且EB=12PA,又OF∥PA,且OF=12PA,∴EB∥OF,且EB=OF,∴EBOF为平行四边形,∴EF∥BD.又EFÜ面PEC,BDÚ面PEC,∴BD∥面PEC.(3)证明:连结BP,∵EBBAABPA=12,∠EBA=∠BAP=90°,∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA,∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,∴PB⊥AE.又∵BC⊥面APEB,∴BC⊥AE,∴AE⊥面PBG,∴AE⊥PG.10.(2009·宁夏、海南高考)如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°.(1)证明:AB⊥PC;3(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.解:(1)证明:因为△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°,所以Rt△PBC≌Rt△PAC,可得AC=BC.如图,取AB中点D,连结PD、CD,则PD⊥AB,CD⊥AB,所以AB⊥平面PDC,所以AB⊥PC.(2)作BE⊥PC,垂足为E,连结AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC,所以AE⊥PC,AE=BE.由已知,平面PAC⊥平面PBC,故∠AEB=90°.因为Rt△AEB≌Rt△PEB,所以△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.由已知PC=4,得AE=BE=2,△AEB的面积S=2.因为PC⊥平面AEB,所以三棱锥P-ABC的体积V=×S×PC=.4