第14讲导数的综合应用（3）—曲线的交点和函数的零点4.用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.【例1】（2008江西卷，文）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的图象与直线恰有两个交点，求的取值范围．【分析及解】（Ⅰ）令，得．在的已知条件下，及随的变化情况列表如下：减极小值增极大值增极小值减所以的递增区间为与，的递减区间为与．（Ⅱ）要研究函数的图象与直线的交点的情况,就要考虑函数的极大值和极小值相对于的位置.由（Ⅰ）得到，，，由图可知，要使用心爱心专心xyy=1-2aaO的图象与直线恰有两个交点，只需(1)两个极小值一个大于且另一个小于,即;(2)极大值小于,即，即或．【例2】（2008湖南卷,文）已知函数有三个极值点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若存在实数，使函数在区间上单调递减，求的取值范围．【分析及解】（Ⅰ）因为函数有三个极值点，所以有三个互异的实根．令，则，当时，，在上为增函数；当时，，所以,在上为减函数；当时，,所以,在上为增函数；所以函数在时取极大值，在时取极小值．当时，或者时，至多只有两个不同实根．要使有三个不同实根，就必须使极大值且极小值．即解得，故．（II）由（I）的证明可知，当时,有三个极值点.不妨设为（），则所以的单调递减区间是,.令,则,由于,则,用心爱心专心即整理得解得且.于是的三个实数根,满足且.从而,.若在区间上单调递减，则,或,若,则,于是若,则于是故或反之,当或时，总可找到使函数在区间上单调递减.综上所述,的取值范围是.【例3】（2008四川卷,理）已知是函数的一个极值点．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围．【分析及解】（Ⅰ）因为，所以．因此．当时,,由此可知,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,当时,是函数的一个极值点．于是,.用心爱心专心x减区间减区间a+2a+2aax3x1x231-3-5（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．当时，，当时，，所以的单调增区间是，的单调减区间是．（Ⅲ）与的图象有个交点；等价于有个实数根；即有个实数根；此时,函数的图象与轴有个不同交点，令，则，令，解得或，，随的变化情况列表如下：为极大值,为极小值.由表可得的示意图：为使图象与轴有3个不同交点,必须的极大值大于零,极小值小于零.即可化为解得∴．【例4】（2008陕西卷文）设函数其中实数．用心爱心专心00↗极大值↘极小值↗yx(3,32ln2-21-b)（1,16ln2-9-b)y=(x)3O1（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．【分析及解】（Ⅰ），又，当时，；当时，，在和内是增函数，在内是减函数．（Ⅱ）由题意知，即恰有一根（含重根）．因为,一定有一根,所以,没有实数根或有两个相等的实数根,因此有，即.又，．当时，才存在最小值，．，所以,．于是的值域为．（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．由题意得，解得；当时，在和内是增函数，在内是增函数．用心爱心专心由题意得，解得；综上可知，实数的取值范围为．【例5】(2007年全国Ⅱ卷,理)已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．【分析及解】（Ⅰ）求函数的导数；．曲线在点处的切线方程为：，即．（Ⅱ）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：用心爱心专心由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．【例6】(2006四川卷,文）已知函数，其中是的导函数.（Ⅰ）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点【分析及解】（Ⅰ）由题意.令，,对，恒有，即.∴即解得.故...
