甘肃省永昌县第一中学高三数学一轮复习《8.8立体几何中的向量方法(Ⅱ)—求空间角与距离》课时训练(时间：45分钟满分：100分)一、选择题每小题7分，共28分1.如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是A.60°B.45°C.30°D.90°2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1，CM〉的值等于A.B.C.D.3.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为A.B.C.D.4.设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是A.B.C.D.二、填空题(每小题7分，共28分)5．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．6.2010·三门峡联考P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为.7.如图所示，PD垂直与正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos〈〉=,若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为.8.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为.,三、解答题(共44分)9．(14分)在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，应用空间向量方法解下列问题：(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值．10．(15分)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．11．如图所示，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.(1)求证：BF⊥DM；用心爱心专心(2)求二面角A—CD—E的余弦值答案1.B2.B3.B4.D5.30°6.90°7.1，1，18.9.(1)证明如图所示，建立空间直角坐标系，D为坐标原点，则E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G.＝，B1C＝(－1,0，－1)．∴·B1C＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0.⊥B1C，即EF⊥B1C.(2)∵C1G＝，∴|C1G|＝.又·C1G＝×0＋×＋×(－1)＝，＝，∴cos﹤，C1G〉＝＝，即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.用心爱心专心10.解方法一建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，取A1B1的中点M，则M，连接AM、MC1，则＝，AB＝(0,a,0)，AA1＝(0,0，a)．·AB＝0，MC1·AA1＝0．∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角．＝，AM＝，·AM＝0＋＋2a2＝.＝＝a，＝＝a，cos〈AC1，AM〉＝＝.∴〈AC1，AM〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.方法二(法向量法)(接方法一)＝(0,0，a)．AB＝(0，a,0)，设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，∴n·AB＝0且n·AA1＝0∴ax＝0且ay＝0，∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．∵AC1＝，cos〈AC1〉，n〉＝＝＝－.设所求线面角为θ，则sinθ=＝，故θ＝30°.点评方法二给出了求线面角的一般方法，先求平面法向量与斜线方向向量的夹角φ，则线面角θ满足sinθ＝|cosφ|.11.解以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝1，依题意得A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,2,0)、E(0,1,1)、F(0,0,1)、M.(1)证明＝(－1,0,1)，DM＝，∴·DM＝－＋0＋＝0，∴BF⊥DM.(2)解设平面CDE的一个法向量为u＝(x，y，z)，,又＝(－1,0,1)，DE＝(0，－1,1)，∴令x＝1，可得u＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)，∴cos〈u，v〉＝＝＝.故二面角A—CD—E的余弦值为.用心爱心专心
