高频考点集中练立体几何1.(2019·全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线【命题思维分析】利用垂直关系,再结合余弦定理进而解决问题.【解析】选B.因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a,DM=a,DN=a,DB=2a,根据余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2-4a2cos∠BDE,EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2-4a2cos∠BDE,所以BM≠EN.【真题拾贝】判断异面直线的依据是异面直线的定义和性质定理,及一条直线与平面相交,该直线与平面内不过交点的直线异面,而解答本题的关键是构造直角三角形.2.(2018·全国卷I)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.【命题思维分析】本题考查正方体的截面问题,命题思维是由正方体的棱分为三组,每组有互相平行的4条棱,所以与12条棱所成角相等,只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可,从而判断出面的位置,截正方体所得的截面为一个正六边形,且边长是面的对角线的一半,应用面积公式求得结果.【解析】选A.由于平面α与每条棱所成的角都相等,所以平面α与平面AB1D1平行或重合(如图),而在与平面AB1D1平行的所有平面中,面积最大的为由各棱的中点构成的截面EFGHMN,而平面EFGHMN的面积S=××××6=.【真题拾贝】该题考查的是有关正方体被平面所截得的截面多边形的面积问题,首要任务是需要先确定截面的位置,之后需要从题的条件中找寻相关的字眼,从而得到其为过六条棱的中点的正六边形,利用六边形的面积的求法,应用相关的公式求得结果.3.(2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54【解析】选B.设△ABC的边长为a,则S△ABC=a2sinC=a2=9,解得a=6,如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,AH=××6=2,OA=R=4,则OH===2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=S△ABC×DH=×9×6=18.【真题拾贝】本题主要考查三棱锥的外接球,考查了勾股定理,三角形的面积公式和三棱锥的体积公式,判断出当DH⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC体积最大很关键,由H为等边三角形ABC的中心,计算得到AH=AE=2,再由勾股定理得到OH,进而得到结果.4.(2018·全国卷II)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.世纪金榜导学号【解析】如图:设SA=SB=l,底面圆半径为r,因为SA与圆锥底面所成角为45°,所以l=r,在△SAB中,AB2=SA2+SB2-2SA·SB·cos∠ASB=r2,AB=r,AB边上的高为=r,△SAB的面积为5,所以·r·r=5,解得r=2,所以该圆锥的侧面积为πrl=πr2=40π.答案:40π5.(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为.世纪金榜导学号【命题思维分析】本题考查学生空间想象能力,合理画图成为关键,准确找到P在底面上的射影,使用线面垂直定理,得到垂直关系,勾股定理解决.【解析】作PD,PE分别垂直于AC,BC于点D,E,PO⊥平面ABC,连接OD,CO,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,所以CD⊥平面PDO,OD⫋平面PDO,所以CD⊥OD,因为PD=PE=,PC=2.所以sin∠PCE=sin∠PCD=,所以∠PCB=∠PCA=60°,所以PO⊥CO,CO为∠ACB的平分线,所以∠OCD=45°,所以OD=CD=1,OC=,又PC=2,所以PO==.答案:【真题拾贝】画图视角选择不当,线面垂直定理使用不够灵活,难以发现垂直关系,问题就很难解决,将几何体摆放成正常视角,是立体几何问题解决的有效手段,几何关系利于观察,解题事半功倍.6.(2018·全国Ⅲ)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.世纪金榜导学号(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.【命题思维分析】(1)先证BC⊥DM,再证CM⊥MD,进而完成证明.(2)判断出P...
