专题2平面向量的数量积及其应用【三年高考】1.【2016高考江苏13】如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是.【答案】【解析】因为，，因此，【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．2．【2015江苏高考，14】设向量ak，则(akak+1)的值为【答案】【考点定位】向量数量积，三角函数性质3．【2014江苏，理12】如图在平行四边形中，已知，，则的值是.【答案】22【解析】由题意，，，所以，即，解得．4．【2013江苏，理15】已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．【答案】(1)详见解析．(2)，.【解析】(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0.故a⊥b.(2)解：因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以由此得cosα＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝，而α＞β，所以，.5．【2016高考山东理数改编】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为．【答案】－4考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.6.【2016高考新课标2理数改编】已知向量，且，则．【答案】8【解析】试题分析：向量，由得，解得．考点：平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝07.【2016高考新课标3理数】已知向量，，则．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，所以．考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．8.【2016年高考北京理数改编】设，是向量，则“”是“”的．（在“充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”中选填）【答案】既不充分也不必要条件【解析】试题分析：由，故是既不充分也不必要条件.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.9.【2016高考天津理数改编】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为【答案】考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．10.【2016年高考四川理数改编】在平面内，定点A，B，C，D满足==,===-2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是．【答案】【解析】试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上点与点距离平方的，．考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此...
