专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.(2018全国Ⅲ,理4)若sinα=,则cos2α=()A.B.C.-D.-2.已知=-,则sinα+cosα等于()A.-B.C.D.-3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为()A.B.C.D.4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()A.B.C.D.5.已知在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tanA=.6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.7.(2018全国Ⅱ,理15)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.8.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cosA+cosC的最大值.9.在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sinA+sinC的取值范围.11.设f(x)=sinxcosx-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.二、思维提升训练12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()A.B.-C.D.-13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.当sinA-cos取最大值时,角A的大小为()A.B.C.D.14.在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.15.已知sinsin,α∈,则sin4α的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
0,所以A,于是sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2因为00,从而sinC=cosC.又cosC≠0,所以tanC=1,则C=,所以B=-A.于是sinA-cossinA-cos(π-A)=sinA+cosA=2sin因为00,tanBtanC>0,所以tanA+2tanBtanC≥2,当且仅当tanA=2tanBtanC时,等号成立,即tanAtanBtanC≥2,解得tanAtanBtanC≥8,即最小值为8.17.解(1)由及正弦定理,得sinB=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.若B=2C,π(舍去).若B+2C=π,又A+B+C=π,∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵||=2,∴a2+c2+2accosB=4.又由(1)知a=c,∴cosB=而cosB=-cos2C,
