题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2018浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.2.(2018北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-.(1)求A;(2)求AC边上的高.3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.4.已知函数f(x)=4tanxsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.5.已知函数f(x)=acos2asinωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)由角α的终边过点P,得sinα=-,所以sin(α+π)=-sinα=(2)由角α的终边过点P,得cosα=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-或cosβ=2.解(1)在△ABC中,∵cosB=-,∴B,∴sinB=由正弦定理,得,∴sinA=∵B,∴A,∴A=(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.∵sinC=,∴h=BC·sinC=7,∴AC边上的高为3.解(1)由题设得acsinB=,即csinB=由正弦定理得sinCsinB=故sinBsinC=(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bcsinA=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+4.解(1)f(x)的定义域为f(x)=4tanxcosxcos=4sinxcos=4sinx=2sinxcosx+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin,所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.5.解(1)由已知可得f(x)=a=asin∵BC==4,∴T=8,∴ω=由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin∵x0,x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=26.解(1)∵m=,n=(sinx,cosx),且m⊥n,∴m·n=(sinx,cosx)=sinx-cosx=sin=0.又x,∴x-∴x-=0,即x=tanx=tan=1.(2)由(1)和已知,得cos==sin又x-,∴x-,即x=
