2.3.4平面向量共线的坐标表示更上一层楼基础•巩固1.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是()A.a=(-1，2)，b=(0，5)B.a=(1，2)，b=(2，1)C.a=(2，-1)，b=(3，4)D.a=(-2，1)，b=(4，-2)思路分析:我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，而D中两个向量共线，故不能作为一组基底.答案:D2.以下命题错误的是()A.若i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，则|i+j|=|i-j|B.若a∥b，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则必有C.零向量的坐标表示为(0，0)D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标思路分析:对B选项，两个向量中，若有与坐标轴共线的向量或有零向量，则坐标不应写成比例式.答案:B3.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若(a+2b)∥(2a-b)，则x的值是()A.2B.1C.D.思路分析:a+2b=(1，2)+2(x，1)=(1+2x，4)，2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3).∵(a+2b)∥(2a-b)，∴3(1+2x)-4(2-x)=0，解得x=.答案:C4.如图2-3-27，=-3，且=a，=b，=c，则下列等式成立的是()图2-3-27A.c=a+bB.c=-a+2bC.c=-b+2aD.c=a+b思路分析:由=+=-3，即c=a-3(b-c)，∴c=a-3b+3c，得-2c=a-3b.所以c=-a+b.答案:A5.已知a=(3，2)，b=(2，-1)，若λa+b与a+λb(λ∈R)平行，则λ=____________.思路分析:λa+b=λ(3，2)+(2，-1)=(3λ+2，2λ-1)，a+λb=(3，2)+λ(2，-1)=(3+2λ，2-λ).∵(λa+b)∥(a+λb)，∴(3λ+2)(2-λ)-(3+2λ)(2λ-1)=0，即7λk=7.∴λ=1或-1.答案:1或-1综合•应用6.已知向量a=(-2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________.思路分析:由b∥a，可设b=λa=(-2λ，3λ).设B(x，y)，则=(x-1，y-2)=b.由又B点在坐标轴上，则1-2λ=0或3λ+2=0，所以B(0，)或(，0).答案:(0，)或(，0)7.已知向量=(4，3)，=(-3，-1)，点A(-1，-2).(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足=λ(λ∈R)，求y与λ的值.解：(1)设点B的坐标为(x1，y1).∵=(4，3)，A(-1，-2)，∴(x1+1，y1+2)=(4，3).∴∴∴B(3，1).同理可得D(-4，-3).设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x，，∴M(-，-1).(2)由=(3，1)-(2，y)=(1，1-y)，=(-4，-3)-(3，1)=(-7，-4).又=λ，∴(1，1-y)=λ(-7，-4)，得∴8.如图2-3-28，已知ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE.图2-3-28证明：以正方形ABCD的边DC所在直线为x轴，点C为坐标原点，建立直角坐标系(如图所示).设正方形边长为1，则A、B点的坐标分别为A(-1，1)、B(0，1).若设点E的坐标为(x，y)，则=(x，y-1)，=(1，-1).∵∥，∴x·(-1)-1·(y-1)=0，即x+y=1.①又CE=AC，∴x2+y2=2.②∴点E在y轴右侧.∴由①②得E的坐标为().∴|AE|=.再设点F的坐标为(x′，1)，则=(x′，1).又=()，且∥，∴·1=0.∴x′=.∴F(，1).从而|AF|=|-1-()|=.∴AF=AE.回顾•展望9.(2006潍坊统考)已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)证明对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；(2)设a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)=(3，5)成立的向量c.思路分析:本题考查的是向量的坐标运算与函数概念的结合，充分理解函数的概念，弄清对应法则的本质，是解决本题的关键.(1)证明：设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则f(mx1+nx2，my1+ny2)=(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2).又mf(a)=(my1，2my1-mx1)，nf(b)=(ny2，2ny2-nx2)，所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2).所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).(2)解:f(a)=(1，1)，f(b)=(0，-1).(3)解:由得所以c=(1，3).
