2.3.1平面向量基本定理主动成长夯基达标1.如图2-3-7,已知ABDEF是正六边形,且=a，=b，则等于（）图2-3-7A.（a-b）B.（b-a）C.a+bD.（a+b）解析:连结AD，则=+=a+b，∴==（a+b）.答案:D2.如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么（）A.若实数λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对解析:平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的.答案:A3.下面给出三个命题①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2使得λ1a=λ2b;③平面内的任一向量都可用其他两个向量的线性组合表示.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析:命题①，两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题③，平面α内的任一向量都可用其他两个不共线向量的线性组合表示，故①③都不正确.答案:B4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（）A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,)C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,)解析:∵点P在AC上且不包括端点A、C，∴=λ,λ∈(0,1).由平行四边形法则，+=，∴λ（+）=λ=.答案:A5.如图2-3-8,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则等于（）图2-3-8A.（5e1+3e2）B.（5e1-3e2）C.（3e2-5e1）D.（5e2-3e1）解析:==（+）=（3e2+5e1）.答案:A6.如图2-3-9,D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，则++等于（）图2-3-9A.B.-C.-D.0解析:++=-++=++=+==-.答案:C7.设点O是ABCD两对角线交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与.可作为该平面其他向量基底的是（）A.①②B.①③C.①④D.③④解析:根据平面向量基本定理得，平面内任意两个不平行的向量都可以作为这一平面内的一组基底，①③这两组为不平行向量.答案:B8.如图2-3-10，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若=a，=b，用a、b表示=_____________.图2-3-10解析:==（a+b）=a+b.答案:a+b9.D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，给出下列命题：①=-a-b；②=a+b；③=-a+b；④++=0.其中正确命题的序号为_______________.解析:如图所示，=+=-b+=-b-a，=+=a+b，=+=-b-a，=+=b+（-b-a）=b-a，++=-b-a+a+b+b-a=0.所以应填①②③④.答案:①②③④10.如图2-3-11,已知点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且若++=0.求证：l=m=n.图2-3-11证明:设=a，=b为基底.由已知得=la，=mb.∵=+=-a-b,∴=n=-na-nb.∴=+=(l-1)a-b,①=+=a+mb,②=+=-na+(1-n)b.③将①②③代入+=0，得（l-n）a+(m-n)b=0.∴l=m=n.11.在△OAB中，=，=，AD与BC交于M点，设=a，=b.（1）用a、b表示.（2）在已知线段上取一点E，在线段上取一点F，使过点M.设=p,=q，求证:(1)解析:设=ma+nb,则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb,=-=b-a=-a+b.∵A、M、D三点共线，∴与共线.∴.∴m+2n=1.①而=-=ma+nb-a=(m-)a+nb,=-=b-a=-a+b,又∵C、M、B三点共线，∴与共线.∴.∴4m+n=1.②∴联立①②解得m=,n=.∴=a+b.(2)证明：∵=-=a+b-p=a+b-pa=（-p）a+b，=-=q-p=qb-pa=-pa+qb，又∵与共线，∴∴q-pq=-p.∴p+q=1.走近高考12.（2006陕西高考，8）已知非零向量与满足（）·=0且=，则△ABC为（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形解析:∵（）·=0，∴||=||.又=，且与都为单位向量，∴〈，〉=60°.∴△ABC为等边三角形.答案:A13.（2006湖南高考，10）如图2-3-12,OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且=x+y，则实数对（x,y）可以是（）图2-3-12A.（，）B.（-，）C.（-，）D.（-，）解析:通过验证法逐一排除,最后选C.答案:C14.（2006广东高考，4）如图2-3-13所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）图2-3-13A.+B.-+C.--D.-解析:∵D为AB的中点，∴=+=-+.答案:B
