2.3.1平面向量基本定理更上一层楼基础•巩固1.已知如图2-3-8,ABCDEF是正六边形，且=a，=b，则等于()图2-3-8A.(a-b)B.(b-a)C.a+bD.(a+b)思路分析:连结AD，则=a+b，∴==(a+b).答案:D2.如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么()A.若实数λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2，这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对思路分析:平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的.答案:A3.下面给出了三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a=λ2b；③平面内的任一向量都可用其他两个向量的线性组合表示.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3思路分析:命题①两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题③平面内的任一向量都可用其他两个不共线向量的线性组合表示.故①③都不正确.答案:B4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于()A.λ(+)，λ∈(0，1)B.λ(+)，λ∈(0，)C.λ(-)，λ∈(0，1)D.λ(-)，λ∈(0，)思路分析:∵P在AC上且不包括端点A、C，∴，λ∈(0，1).由平行四边形法则+=，∴λ(+)=λ=.答案:A综合•应用5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，λ∈［0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心思路分析:因与都为单位向量，所以λ(+)平分与的夹角，如图所示，即平分∠A，即通过△ABC的内心.答案:B6.如图2-3-9，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若=a，=b，用a、b表示=__________.图2-3-9思路分析:=a+b-=a+b-·=a+b-(a-b)=a+b.答案:a+b7.D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点，且=a，=b，给出下列命题：①=a-b；②=a+b；③=a+b；④++=0.其中正确命题的序号为______________.思路分析:如图所示，=+=-b+=-b-a，=+=a+b，=+=-b-a，=+=b+(-b-a)=b-a，++=-b-a+a+b+b-a=0.所以应填①②③④.答案:①②③④回顾•展望8.如图2-3-10,在△OAB中，=，=，与交于M点，设=a，=b.图2-3-10(1)用a、b表示.(2)在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点.设=p，=q.求证：.(1)解：设=ma+nb，则=ma+nb-a=(m-1)a+nb，=-=b-a=-a+b.∵A、M、D三点共线，∴与共线.∴.∴m+2n=1.①而=ma+nb-a=(m-)a+nb，=-=b-a=-a+b.∵C、M、B三点共线，∴与共线.∴.∴4m+n=1.②联立①②解得m=，n=.∴=a+b.(2)证明：∵=a+b-=a+b-pa=(-p)a+b，=-=q-p=qb-pa=-pa+qb，又∵与共线，∴.∴q-pq=p.∴.
