第二章2.32.3.1平面向量基本定理A级基础巩固一、选择题1．e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是(B)A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2[解析]3e1－2e2与4e2－6e1是共线向量，不能作为一组基底．2．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a、b的判断正确的是(B)A．a与b一定共线B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直D．a与b中至少一个为0[解析]由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B．3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2AD＝DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于(A)A．B．－C．D．－[解析]方法一由平面向量的三角形法则可知CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝．方法二因为A，B，D三点共线，CD＝CA＋λCB，所以＋λ＝1，所以λ＝．4．(2018·湖南长沙市中学期末)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB(A)A．AB－ACB．AB－ACC．AB＋ACD．AB＋AC[解析]EB＝AE＋AB＝－AD＋AB＝－×(AB＋AC)＋AB＝AB－AC．5．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角大小为(D)A．B．πC．D．π[解析]如图， c＝a＋b，c⊥a，∴a、b、c的模构成一个直角三角形，且θ＝，所以可推知a与b的夹角为.故选D．6．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是(C)A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在[解析]选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．二、填空题7．如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量AM＝b＋a．[解析]AM＝AD＋DM＝AD＋DC＝AD＋AB＝b＋a．8．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝__0__．[解析] e1，e2不共线，∴，解得，∴x＋y＝0．三、解答题9．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底AB、AC表示AD．[解析] D是BC边的四等分点，∴BD＝BC＝(AC－AB)，∴AD＝AB＋BD＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC．10．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点．若AB＝a，AD＝b，试以a、b为基底表示DE、BF．[解析] 四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，∴AD＝BC＝2BE，CD＝BA＝2CF，∴BE＝AD＝b，CF＝CD＝BA＝－AB＝－a．∴DE＝DA＋AB＋BE＝－AD＋AB＋BE＝－b＋a＋b＝a－b，BF＝BC＋CF＝AD＋CF＝b－a．B级素养提升一、选择题1．如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么(A)A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数，m，n，使a＝me1＋ne2[解析]选项B中应为“平面内任一向量”，C中me1＋ne2一定在此平面上，选项D中，m，n应是唯一的，只有A正确．2．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角为(B)A．150°B．120°C．60°D．30°[解析] |a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c，∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．∴a与b的夹角为120°．3．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则(A)A．AD＝－AB＋ACB．AD＝AB－ACC．AD＝AB＋ACD．AD＝AB－AC[解析]由题意得AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋AC－AB＝AB＋AC，故选A．4．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2，则OP＝(D)A．a＋λbB．λa＋bC．λa＋(1＋λ)bD．[解析] P1P＝λPP2，∴OP－OP1＝λ(OP2－OP)，(1＋λ)OP＝λOP2＋OP1，∴OP＝．二、填空题5．向量a与b的夹角为25°，则2a与－b的夹角θ＝__155°__．[解析]作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝25°，如图所示．延长OA到C，使OA＝AC，则OC＝2a．延长BO到D，使OD＝BO，则OD＝－b．则θ＝∠D...
