2.3.1平面向量基本定理课后集训基础达标1.若=3e1,=5e1,且与的模相等，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．梯形C．等腰梯形D．菱形解析：∵=3e1,=5e1,∴=,∴、共线.∵、没有公共点，∴AB∥DC.又由于||≠||，∴四边形ABCD是梯形.又∵||=||，∴四边形ABCD为等腰梯形.答案：C2.设AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，且=a,=b,则等于（）A．a+bB．a+bC．a-bD．-a+b解析：设G为AD、BE的交点，则=+=b+a,所以=a+b.答案：B3.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A．e1+e2和e1-e2B．3e1-2e2和4e2-6e1C．e1+2e2和e2+2e1D．e2和e1+e2解析：本题主要考查基底的条件：两向量不共线.而B中3e1-2e2=-（4e2-6e1）故两向量共线.答案：B4.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,则向量a+2b与2a-b（）A．一定共线B．不一定共线C．仅当e1与e2共线时共线D．仅当e1=e2时共线解析：a+2b=e1+e2+2（2e1-e2）=e1+e2+4e1-2e2=5e1-e2,2a-b=2(e1+e2)-(2e1-e2)=2e1+2e2-2e1+e2=3e2,仅当e1,e2共线时a+2b与2a-b共线，∴应选C.答案：C5.已知ABCD中，=，若=a,=b,则等于（）A．a+bB．b-aC．a-bD．-a-b解析：如右图所示，==b+（-）=b-a.∴应选B.答案：B6.设e1、e2是不共线向量，而2e1-3e2与ke1+6e2共线，则实数k的值为______________.解析：∵2e1-3e2与ke1+6e2共线，∴ke1+6e2=λ(2e1-3e2)即：ke1+6e2=2λe1-3λe2.又∵e1与e2是不共线向量，∴解得：λ=-2,k=-4.答案：k=-4综合运用7.同一平面内的向量a，e1,e2,e3,e4,已知a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e3+μ2e4,且e1,e2不共线，e3,e4不共线，则（）A.λ1=λ2,μ1=μ2B.λ1≠λ2,μ1≠μ2C.λ1,λ2,μ1,μ2的取值与e1,e2,e3,e4有关D.以上说法都对解析：深刻理解平面向量基本定理.平面内任一向量的表示与所选择的基底有关.答案：C8.(2003全国)已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），则等于（）A.λ(),λ∈(0,1)B.λ(),λ∈(0,)C.λ(),λ∈(0,1)D.λ(),λ∈(0,)解析：由向量的运算法则，而点P在对角线AC上，所以与同向，且||<||.∴=λ()(λ∈(0,1)).∴应选A.答案：A9.如右图、不共线，且=t·（t∈R）,用、表示=___________.解析：=+=-=+t=-t（-）=（1-t）+t答案：（1-t）+t拓展探究10.点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且=l,=m,=n,若++=0.求证：l=m=n.思路分析：首先选出一组基底：=a,=b,再根据已知条件将、、都表示出来，再使用向量基本定理证明.证明：设=a,=b为基底，由已知得=la,=mb,∵=-a-b，∴=n=-na-nb,∴=+=(l-1)a-b,①=+=a+mb,②=+=-na+(1-n)b.③将①②③代入++=0，得(l-n)a+(m-n)b=0.∴l=m=n.备选习题11.如右图所示，△ABC中，若D、E、F依次是AB的四等分点，则以=e1,=e2为基底时，=_________________.解析：∵=e1,=e2,∴=e1-e2.∵=,∴=(e1-e2).∵=+=e2+(e1-e2)=e1+e2.答案：e1+e212.已知如右图，两向量e1,e2,设a=3e1,b=2e2.求作：（1）2a-b;(2)(b-a).作法：（1）如图甲，在平面内任取一点O，使得=2a=6e1,作=2e2,连结AB，则向量即为所求作的2a-b向量.（2）如图乙，在平面内任取一点O，使得=3e1,=2e2,连结MN，则向量为b-a,取MN的三等份点P，使==(b-a).13.如下图，P、Q分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，=a,=b,试用向量a、b表示向量.解：==+=-+(-)=-a-b=-(a+b).14.如右图，梯形ABCD中，AB∥CD,M、N分别是、的中点，且=k,设=e1,=e2,以e1、e2为基底表示向量、.解：∵=e2,且=k,∴=k=ke2.∵+++=0.∴=---=-++=e1+(k-1)e2.又∵+=0，且=-,=,∴=---=-++=.15.如下图所示，梯形ABCD中，AB∥CD,且AB=2CD，E，F分别是AD，BC的中点.（1）若设=e1,=e2,以e1,e2为基底表示；（2）若设=z1,=z2,试以z1，z2为基底表示，.解：(1)∵AB=2CD，且AB∥CD，∴=e1,=-e1.∵E、F分别是AD、BC的中点，∴=（+）=（e1+e1）=e1,=+=e2+e1,=e2+e1-e1=e2-e1.(2)设=a,则=2a.∵=z1,∴z1=(a+2a)=a.∴a=z1,即=z1.∴=-z1,=z1.∵=+,∴=-=z2-z1,=-=z2-z1.16.△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线交DE于N.设=a,=b,用a、b分别表示向量、、、、、.（如下图所示）解：∵==b-a，由△ADE∽△ABC,得==（b-a）.由AM是△ABC的中线，DE∥，得==（b-a）而且AM=+=a+=a+(b-a)=(a+b).==(a+b).
