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高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解 2.3.3 坐标表示、平面向量的坐标运算同步优化训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

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2.3.2平面向量的正交分解2.3.3坐标表示、平面向量的坐标运算5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2b-a的坐标是()A.(3,-4)B.(-3,4)C.(3,4)D.(-3,-4)解析:2b-a=2(0,-1)-(3,2)=(0,-2)-(3,2)=(-3,-4).答案:D2.已知作用在A点的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为__________________________.解析:F=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0).设终点为D(x,y),则:F=,即(8,0)=(x-1,y-1),所以所以终点为(9,1).答案:(9,1)3.已知x轴的正方向与a的方向的夹角为60°,且|a|=4,则a的坐标为________________.解析:设a=(x,y),x=|a|cos60°=4×=2,y=|a|sin60°=4×.答案:(2,)4.已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A(-2,1),一组对边AB、CD的中点分别为M(3,0),N(-1,-2),求平行四边形的各个顶点坐标.解:设其余三个顶点的坐标为B(x1,y1),C(x2,y2),D(x3,y3).因为M是AB的中点,所以3=,0=.解得x1=8,y1=-1.设MN的中点O′(x0,y0),则x0==1,y0==-1,而O′既是AC的中点,又是BD的中点,所以x0=,y0=,即1=,-1=.解得x2=4,y2=-3.同理,x3=-6,y3=-1.所以B(8,-1),C(4,-3),D(-6,-1).10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c等于(-1,2),则c等于()A.a+bB.a-bC.abD.a+b解析:根据平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示的结论,再结合待定系数法可求.答案:B2.已知ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC、BD交于点O,则的坐标为()A.(,5)B.(,5)C.(,-5)D.(,-5)解析:如图所示,=(-2,3)+(3,7)=(1,10).∴==(,5).∴=(,-5).答案:C3.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,那么有=λ,其中λ等于()A.2B.C.-3D.-解析: AE为∠BAC的平分线,∴==2.∴=.∴.答案:C4.若将向量a=(,1)按逆时针方向旋转得到向量b,则b的坐标为_________________.解析:由三角函数的定义,可知a与x轴正向的夹角为,按逆时针方向旋转到OP的位置,易知|OP|=2,∠xOP=120°.根据三角函数的定义,OA=2cos120°=-1,AP=2sin120°=,所以b=(-1,).答案:(-1,)5.已知边长为单位长的正方形ABCD,若A点与坐标原点重合,边AB、AD分别落在x轴、y轴的正向上,则向量的坐标为___________________.解析:根据题意建立坐标系如图,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).∴=(1,0),=(0,1),=(1,1).∴=(2,0)+(0,3)+(1,1)=(3,4).答案:(3,4)6.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及.求:(1)t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)=(1+3t,2+3t),若P在x轴上,只需2+3t=0,所以t=;若P在y轴上,只需1+3t=0,所以t=-;若P在第二象限,只需∴<t<-.(2)因为=(1,2),=(3-3t,3-3t),若OABP为平行四边形,则.由于无解,故四边形OABP不能构成平行四边形.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.在△ABC中,已知A(2,3)、B(8,-4),G(2,-1)是中线AD上的一点,且||=2||,则点C的坐标为()A.(-4,2)B.(-4,-2)C.(4,-2)D.(4,2)解析:设C点坐标为(x,y),由于G是△ABC的重心,则2=,∴x=-4;-1=,∴y=-2.答案:B2.已知A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4),且,试求点M、N和的坐标.解: A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),∴=(-2+3,4+4)=(1,8),=(3+3,-1+4)=(6,3).于是=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6).设M(x,y),则有=(x+3,y+4),∴解之,得即M点的坐标为(0,20).同理,可求得N(9,2).因此=(9-0,2-20)=(9,-18).故所求的点M、N的坐标分别为(0,20),(9,2),的坐标为(9,-18).3.如图2-3-8所示,已知△ABC中,A(7,8)、B(3,5)、C(4,3),M、N是AB、AC的中点,D是BC的中点,NM与AD交于F,求.图2-3-8解: A(7,8)、B(3,5)、C(4,3),∴=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).又 D是的中点,∴=()=(,-4).又 M、N分别为AB、AC的中点,∴F为AD的中点.∴==(,2).4.用坐标法证明=0.证明:设A(a1,a2),B(b2,b2),C(c1,c2),则=(b1-a1,b2-a2),=(c1-b1,c2-b2),=(a1-c1,a2-c2).∴=(b1-a1,b2-a...

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