高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理优化练习 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

2.3.1平面向量基本定理[课时作业][A组基础巩固]1．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析： e1－2e2＝－(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，故不能作为基底．其余三组均不共线．答案：C2．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是()A．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对C．若有实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2不一定存在解析：选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1，e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1，λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．答案：C3．四边形OABC中，CB＝OA，若OA＝a，OC＝b，则AB＝()A．a－bB.－bC．b＋D．b－a解析：AB＝AO＋OC＋CB＝－a＋b＋a＝b－a，故选D.答案：D4．若P为△OAB的边AB上一点，且△OAP的面积与△OAB的面积之比为1∶3，则有()A.OP＝OA＋2OBB.OP＝2OA＋OBC.OP＝OA＋OBD.OP＝OA＋OB解析：因为△OAP的面积与△OAB的面积之比为1∶3，所以AP＝AB，所以OP－OA＝(OB－OA)，所以OP＝OA＋OB.答案：C5．已知|OA|＝2，|OB|＝，∠AOB＝120°，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则＝()A.B.C.D.解析：如图，过点C作CM∥OB，CN∥OA，则OC＝OM＋ON，设|ON|＝x，则|OM|＝2x，OC＝2x·＋x·＝xOA＋xOB，所以m＝x，n＝，所以＝＝.答案：B6．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为________．解析：如图，OA＝a，OB＝b，BA＝a－b，因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以OA＝OB＝AB，所以a与b的夹角为∠AOB＝60°.答案：60°7.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析：设AB＝a，AD＝b，则AE＝a＋b，AF＝a＋b，得a＝(2AF－AE)，b＝(2AE－AF)，又因为AC＝a＋b，所以AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.答案：8．如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示AG＝________.解析：AG＝AE－GE＝AB＋BE－GE＝a＋b－FE＝a＋b－×DB＝a＋b－(a－b)＝a＋b.答案：a＋b9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM＝BC，CN＝CA，AP＝AB，若AB＝a，AC＝b，试用a，b将MN，NP，PM表示出来．解析：NP＝AP－AN＝AB－AC＝a－b，MN＝CN－CM＝－AC－CB＝－b－(a－b)＝－a＋b，PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝(a＋b)．10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝AB＋AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝xBM＋yBN，求x，y的值．解析：(1)由AM＝AB＋AC可知M，B，C三点共线，如图，令BM＝λBC⇒AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC⇒λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.(2)由BO＝xBM＋yBN⇒BO＝xBM＋BA，BO＝BC＋yBN，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒⇒[B组能力提升]1．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若AM＝λAB＋μAC，则λ，μ的值分别是()A.，B.，C.，D.，解析：AM＝AH＝(AB＋BH)，因为AH⊥BC，∠ABC＝60°，所以BH＝1，所以BH＝BC，故AM＝AB＋BH＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，故λ＝，μ＝.答案：B2．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP＝()A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD.a＋b解析：因为OP＝OP1＋P1P＝OP1＋λPP2＝OP1＋λ(OP2－OP)＝OP1＋λOP2－λOP，所以(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，所以OP＝OP1＋OP2＝a＋B.答案：D3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角为()A．150°B．120°C．60°D．30°解析： |a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c，∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．∴a与b的夹角为120°.答案：B4．已知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB＝2e1＋ke2，CB...