课时作业7平面向量基本定理知识点一基底的概念1.下面三种说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③答案B解析只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B.2．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．答案λ≠解析考虑向量a，b共线，则有λ＝，故当λ≠时，向量a，b不共线，可作为一组基底.知识点二用基底表示向量3.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，y∈R，且均不为0.若PQ∥BE，则＝________.答案解析因为PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝λ(CE－CB)＝λ＝－AB＋λAD，所以则＝.4．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb.则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因为e1，e2不共线，所以解得所以c＝a－2b.5．在▱ABCD中，设AC＝a，BD＝b，试用a，b表示AB，BC.解解法一：(转化法)如图，设AC，BD交于点O，则有AO＝OC＝AC＝a，BO＝OD＝BD＝b.∴AB＝AO＋OB＝AO－BO＝a－b，BC＝BO＋OC＝b＋a.解法二：(方程思想)设AB＝x，BC＝y，则有AB＋BC＝AC，AD－AB＝BD且AD＝BC＝y，即∴x＝a－b，y＝a＋b，即AB＝a－b，BC＝a＋b.6．如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示AG.解易知CF＝CD，CE＝CB，设CG＝λCA，则由平行四边形法则，得CG＝λ(CB＋CD)＝2λCE＋2λCF.由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，故λ＝.从而CG＝CA，AG＝AC＝(a＋b).知识点三平面向量基本定理的应用7.设e1，e2是平面内的一组基底，如果AB＝3e1－2e2，BC＝4e1＋e2，CD＝8e1－9e2，求证：A，B，D三点共线．证明 AB＝3e1－2e2，AD＝AB＋BC＋CD＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5AB，即AD＝5AB，∴AD与AB共线，又AD与AB有公共点A，∴A，B，D三点共线．8．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．证明如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点，令AC＝a，BC＝b为基底，则AB＝a－b，AD＝a－b，BE＝－a＋b，设AD与BE交于点G，且AG＝λAD，BG＝μBE，则有AG＝λa－b，BG＝－a＋μb.又有AG＝AB＋BG＝a＋(μ－1)b，∴解得λ＝μ＝.∴AG＝a－b，CG＝CA＋AG＝－a＋a－b＝－a－b＝×(－a－b)．而CF＝(－a－b)，∴CG＝CF.∴点G∈CF.∴三角形三条中线交于一点．一、选择题1．在△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2DC，设AB＝a，AC＝b，则AD可用基底a，b表示为()A.(a＋b)B.a＋bC.a＋bD.(a＋b)答案C解析因为BD＝2DC，所以BD＝BC.所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.2．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是()A．a＋b与a－bB．a＋2b与2a＋bC．a＋b与－a－bD．a与－b答案C解析由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．3．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP等于()A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD.a＋b答案D解析 P1P＝λPP2，∴OP－OP1＝λ(OP2－OP)，∴(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，∴OP＝OP1＋·OP2＝a＋b.故选D.4．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案D解析如图所示，在四边形ABCD中，AD＝a，AB＝b，AC＝c， c＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形， c⊥a，∴△ACD为直角三角形，又|AD|＝1，|DC|＝2，∴θ＝，所以a与b的夹角为.5．如图，在四边形ABCD中，DC＝AB，E为BC的中点，且AE＝xAB＋yAD，则3x－2y＝()A.B.C．1D．2答案C解析由题意，得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(－AB＋AD＋DC)＝AB＋＝AB＋AD. AE＝xAB＋yAD，∴xAB＋yAD＝AB＋AD. AB与AD不共线，∴由平面向量基本定理，得∴3x－2y＝3×－2×＝1.故选C.二、填空...
