课时作业11平面几何中的向量方法知识点一平行、垂直的问题1.已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()A．A，B，C三点共线B.AB⊥BCC．A，B，C是锐角三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点答案D解析 BC＝(－2,0)，AC＝(2,4)，∴BC·AC＝－4<0，∴∠C是钝角．故选D.2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案B解析因为|OB－OC|＝|CB|＝|AB－AC|，|OB＋OC－2OA|＝|AB＋AC|，所以|AB－AC|＝|AB＋AC|，则AB·AC＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形，故选B.3．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式不成立的是()A．|AC|2＝AC·ABB．|BC|2＝BA·BCC．|AB|2＝AC·CDD．|CD|2＝答案C解析AC·AB＝AC·(AC＋CB)＝AC2＋AC·CB＝AC2＝|AC|2，A正确；同理|BC|2＝BA·BC成立，B正确；＝＝2＝|CD|2，D正确．故选C.4．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0答案A解析设P(x，y)为直线上一点，则AP＝(x－2，y－3)．依题意有AP⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.故选A.5．如图，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PFCE是矩形．试用向量法证明：AP⊥EF.证明以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，P(m，m)，依题意，得E(1，m)，F(m，0)，A(0,1)，于是AP＝(m，m－1)，EF＝(m－1，－m)，则AP·EF＝m(m－1)－(m－1)m＝0，所以AP⊥EF，即AP⊥EF.知识点二长度和夹角的问题6.在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．2B.C．3D.答案B解析BC的中点为D，AD＝，∴|AD|＝.7．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°(用向量法证明)．证明如图，连接OP，设向量OA＝a，OP＝b，则OB＝－a，且PA＝OA－OP＝a－b，PB＝OB－OP＝－a－b.∴PA·PB＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，∴PA⊥PB，即∠APB＝90°.8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．解(1)设AB＝a，AC＝b，则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.∴|AD|2＝AD2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3.∴AD＝.(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD与AC的夹角．∴cosθ＝＝＝＝＝0.∴θ＝90°.即∠DAC＝90°.9．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于点F，连接DF.求证：∠ADB＝∠FDC.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则点D(0,1)．于是AD＝(－2,1)，AC＝(－2,2)．设F(x，y)．由BF⊥AD，得BF·AD＝0，即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0.①又F点在AC上，则FC∥AC.而FC＝(－x,2－y)，因此，2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2.②由①②式解得x＝，y＝，∴F，DF＝，DC＝(0,1)，故DF·DC＝.又DF·DC＝|DF||DC|cosθ＝cosθ，∴cosθ＝，即cos∠FDC＝，又cos∠ADB＝＝＝，∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.一、选择题1．若a＝(1,2)，b＝(x,1)，且a＋2b与2a－b平行，则x等于()A．2B．1C.D.答案C解析 a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，a＋2b与2a－b平行，∴8－4x－3－6x＝0，解得x＝.2．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，AC·AB＝5，则AC的长为()A．1B．2C．3D．4答案B解析因为BD＝AD－AB＝AC－AB，所以BD2＝2＝AC2－AC·AB＋AB2，即AC2＝1，所以|AC|＝2，即AC＝2.3．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案A解析由OA＋OB＋CO＝0，得OA＝OC－OB，两边平方得OA2＝OC2＋OB2－2OC·OB，由于|OA|＝|OB|＝|OC|，则|OB|2＝2|OC|·|OB|cos〈OB，OC〉，所以cos〈OB，OC〉＝，则∠BOC＝60°，所以∠A＝∠BOC＝30°，故选A.4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在区间为()A．(2,3)B．(3,4)C．(4,5)D．(5,6)答案C解析AD＝AB＋BC＋CD，其中AB与...
