课时作业10平面向量数量积的坐标表示知识点一平面向量数量积的坐标表示1.设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．12B．0C．－3D．－11答案C解析 a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.2．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为()A．－B．0C．3D.答案C解析 2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.知识点二平面向量的模与夹角3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.B．2C．4D．12答案B解析由a＝(2,0)，得|a|＝2，又|b|＝1，所以a·b＝2×1×cos60°＝1，故|a＋2b|＝＝2.4．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.B．－C.D．－答案C解析 a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.又|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝＝.5．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则|a－b|＝________.答案2解析|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－2a·b.又因为a＋b＝(，1)，所以(a＋b)2＝4，即a2＋2a·b＋b2＝4，所以a·b＝0，故|a－b|＝＝2.6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解(1)设c＝(x，y)， |c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，可得解得或故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2) (a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cosθ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.知识点三数量积的应用7.已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)答案C解析设点P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，∴AP·BP＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP·BP最小，此时点P的坐标为(3,0)．8．已知在平行四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－3，2)，则AD·AC＝________.答案3解析设AC，BD相交于点O，则AD＝AO＋OD＝AC＋BD＝＋＝(－1,2)．又AC＝(1,2)，所以AD·AC＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.9．如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若OA⊥OB，则向量OB的坐标为________．答案解析依题意设B(cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，则OB＝(cosθ，sinθ)，OA＝(1,1)．因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝.所以OB＝.10．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝________.答案－2解析建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(－，0)，M(0,2)，∴MA＝(0,1)，MB＝(－，－2)，∴MA·MB＝－2.11．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的模的最大值；(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．解(1)b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．因为－1≤cosβ≤1，所以0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的模的最大值为2.(2)若α＝，则a＝.又由b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)得a·(b＋c)＝·(cosβ－1，sinβ)＝cosβ＋sinβ－.因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1，所以sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0，解得cosβ＝0或cosβ＝1.经检验cosβ＝0或cosβ＝1即为所求.易错点对向量的数量积与夹角的关系理解不透致误12．设a＝(－3，m)，b＝(4,3)，若a与b的夹角是钝角，则实数m的范围是()A．m>4B．m<4C．m<4且m≠D．m<4且m≠－易错分析本题错误的根本原因是误认为两个向量的夹角为钝角与数量积小于零等价，应排除夹角为π时的m值，条件的转化一定要等价．答案D正解a＝(－3，m)，b＝(4,3)，当a与b的夹角是钝角时，a·b<0，①且a与b不平行，②由①得，－3×4＋3m<0，解得m<4，由②得，－3×3－4m≠0，解得m≠－，综上，实数m的范围是m<4且m≠－.一、选择题1．已知向量a＝(4，－3)，b＝(...
